Stetige Abbildung/Prägarben/Rückzug und Vorschub/Einführung/Textabschnitt
Zu einer stetigen Abbildung
und einer Prägarbe auf nennt man die durch
gegebene Prägarbe auf die unter vorgeschobene Prägarbe.
Da zu offenen Mengen auch gilt, hat man natürliche Restriktionsabbildungen und erhält somit in der Tat eine Prägarbe.
Es sei
eine offene Überdeckung einer offenen Menge . Dann bilden die , , eine offene Überdeckung von . Es seien mit gegeben. Dies bedeutet unmittelbar und
Daher ist (nach der ersten Garbeneigenschaft von ) in , also in .
Es seien nun mit
Dies bedeutet zurückübersetzt nach unmittelbar, dass kompatible Schnitte in vorliegen, denen ein Schnitt in entspricht.
Zu einer stetigen Abbildung
einem Punkt und einer Prägarbe auf ist der Halm der vorgeschobenen Prägarbe im Punkt gleich
Beweis
Der Halm der vorgeschobenen Prägarbe ist also der Halm der Ausgangsgarbe in einem Filter (nämlich dem Urbildfilter des Umgebungsfilters ), aber im Allgemeinen nicht in einem Punkt.
Zu einer stetigen Abbildung
und einer Prägarbe auf nennt man auf einer offenen Menge durch
gegebene Prägarbe auf die unter zurückgezogene Prägarbe.
Zu einer stetigen Abbildung und einer Garbe auf nennt man die Vergarbung der zurückgezogenen Prägarbe die zurückgezogene Garbe.
Sie wird mit bezeichnet.
Zu einer stetigen Abbildung und einer Garbe auf
ist der Halm der zurückgezogenen Garbe in einem Punkt gleich dem Halm von in .