Bisher haben wir nur Potenzreihen der Form betrachtet; die Variable darf jetzt auch durch die „verschobene Variable“ ersetzt werden, um das lokale Verhalten im Entwicklungspunkt beschreiben zu können. Konvergenz bedeutet in diesem Fall, dass es ein
derart gibt, dass für
die Reihe konvergiert. In dieser Situation ist die durch die Potenzreihe dargestellte Funktion wieder differenzierbar und die Ableitung wird durch die summandenweise genommene Ableitung wie in
Fakt
beschrieben. Zu einer konvergenten Potenzreihe
bilden die Teilpolynome polynomiale Approximationen für die Funktion im Punkt . Ferner ist in beliebig oft differenzierbar und die Ableitungen im Punkt lassen sich direkt aus der Potenzreihe ablesen, und zwar ist
Wir fragen uns nun umgekehrt, inwiefern man aus den höheren Ableitungen einer hinreichend oft differenzierbaren Funktion approximierende Polynome
(oder eine Potenzreihe)
erhalten kann. Dies ist der Inhalt der Taylor-Entwicklung.
das Taylor-Polynom vom Grad[1] zu im Entwicklungspunkt .
Es ist also
die konstante Approximation,
die lineare Approximation, wie sie im Konzept der linearen Approximierbarkeit vorkommt,
die quadratische Approximation,
die Approximation vom Grad , u.s.w. Das Taylor-Polynom zum Grad ist dasjenige
(eindeutig bestimmte)
Polynom vom Grad , das mit an der Stelle bis zur -ten Ableitung übereinstimmt.
Dieser Beweis wurde in der Vorlesung nicht vorgeführt.
Es sei
fixiert. In Anlehnung an die zu beweisende Aussage betrachten wir zu
den Ausdruck
den wir als Funktion in
auffassen. Es ist
und wir wählen derart, dass
ist, was möglich ist. Die Funktion
ist auf dem Teilintervall
(bzw. , falls
ist.)
differenzierbar
(nach )
und besitzt an den beiden Intervallgrenzen den Wert . Nach dem
Satz von Rolle
gibt es ein
mit
.
Die Zahl existiert aufgrund von
Fakt,
da nach Voraussetzung die -te Ableitung stetig auf dem
kompakten
Intervall ist. Die Aussage folgt somit direkt aus
Fakt.
↑Oder genauer das Taylor-Polynom vom Grad . Wenn die -te Ableitung in null ist, so besitzt das -te Taylor-Polynom einen Grad kleiner als .