Taylorentwicklung/R/Eine Variable/Einführung/Textabschnitt

Bisher haben wir nur Potenzreihen der Form betrachtet; die Variable darf jetzt auch durch die „verschobene Variable“ ersetzt werden, um das lokale Verhalten im Entwicklungspunkt beschreiben zu können. Konvergenz bedeutet in diesem Fall, dass es ein derart gibt, dass für

die Reihe konvergiert. In dieser Situation ist die durch die Potenzreihe dargestellte Funktion wieder differenzierbar und die Ableitung wird durch die summandenweise genommene Ableitung wie in Fakt beschrieben. Zu einer konvergenten Potenzreihe

bilden die Teilpolynome polynomiale Approximationen für die Funktion im Punkt . Ferner ist in beliebig oft differenzierbar und die Ableitungen im Punkt lassen sich direkt aus der Potenzreihe ablesen, und zwar ist

Wir fragen uns nun umgekehrt, inwiefern man aus den höheren Ableitungen einer hinreichend oft differenzierbaren Funktion approximierende Polynome (oder eine Potenzreihe) erhalten kann. Dies ist der Inhalt der Taylor-Entwicklung.


Es sei ein Intervall,

eine -mal differenzierbare Funktion und . Dann heißt

das Taylor-Polynom vom Grad[1] zu im Entwicklungspunkt .

Es ist also

die konstante Approximation,

die lineare Approximation, wie sie im Konzept der linearen Approximierbarkeit vorkommt,

die quadratische Approximation,

die Approximation vom Grad , u.s.w. Das Taylor-Polynom zum Grad ist dasjenige (eindeutig bestimmte) Polynom vom Grad , das mit an der Stelle bis zur -ten Ableitung übereinstimmt.



Es sei ein reelles Intervall,

eine -mal differenzierbare Funktion und ein innerer Punkt des Intervalls.

Dann gibt es zu jedem Punkt ein mit

Dabei kann zwischen und gewählt werden.


Die reelle Sinusfunktion zusammen mit verschiedenen approximierenden Taylorpolynomen (von ungeradem Grad).



Es sei ein beschränktes abgeschlossenes Intervall,

eine -mal stetig differenzierbare Funktion, ein innerer Punkt und .

Dann gilt zwischen und dem -ten Taylor-Polynom die Fehlerabschätzung

Die Zahl existiert aufgrund von Fakt, da nach Voraussetzung die -te Ableitung stetig auf dem kompakten Intervall ist. Die Aussage folgt somit direkt aus Fakt.

  1. Oder genauer das Taylor-Polynom vom Grad . Wenn die -te Ableitung in null ist, so besitzt das -te Taylor-Polynom einen Grad kleiner als .