Topologischer Raum/Deformationsretrakt/Einführung/Textabschnitt

Definition

Ein Unterraum ${}Y\subseteq X$ eines topologischen Raumes ${}X$ heißt Deformationsretrakt von ${}X$ , wenn es eine stetige Abbildung

H\colon X\times [0,1]\longrightarrow X

gibt mit

{}H(x,0)=x\,

für alle ${}x\in X$ ,

{}H(x,1)\in Y\,

für alle ${}x\in X$ ,

{}H(y,t)=y\,

für alle ${}y\in Y$ und alle ${}t$ .

Ein topologischer Raum ist genau dann kontrahierbar, wenn ein einzelner Punkt ${}\{P\}$ ein Deformationsretrakt des Gesamtraumes ist.

Beispiel

Wir betrachten den Kreis ${}S^{1}\subseteq \mathbb {R} ^{2}\setminus \{0\}$ . Die Abbildung

H\colon {\left(\mathbb {R} ^{2}\setminus \{0\}\right)}\times [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}\setminus \{0\},\,(x,y,t)\longmapsto {\left({\frac {t}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}+1-t\right)}(x,y),

ist stetig und zeigt, dass der Einheitskreis ein Deformationsretrakt der punktierten Ebene ist. Es ist ja

{}H(x,y,0)=(x,y)\,,

{}H(x,y,1)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}(x,y)\in S^{1}\,,

und für ${}(x,y)\in S^{1}$ ist

{}H(x,y,t)=(x,y)\,.

Satz

Es sei ${}Y\subseteq X$ ein Deformationsretrakt eines topologischen Raumes ${}X$ und ${}P\in Y$ .

Dann sind die Fundamentalgruppen ${}\pi _{1}(Y,P)$ und ${}\pi _{1}(X,P)$ zueinander kanonisch isomorph.

Beweis

Die kanonischen Abbildungen

\pi _{1}(Y,P)\longrightarrow \pi _{1}(X,P){\stackrel {\pi (H(-,1))}{\longrightarrow }}\pi _{1}(Y,P)

zeigen, da die Hintereinanderschaltung die Identität ist, dass ${}\pi _{1}(Y,P)$ eine Untergruppe von ${}\pi _{1}(X,P)$ ist. Es sei ${}\gamma$ ein stetiger Weg in ${}X$ mit Aufpunkt ${}P$ . Wir müssen zeigen, dass er homotop zu einem Weg in ${}Y$ ist. Wir betrachten dazu die zusammengesetzte Abbildung ${}\Psi$