Topologischer Raum/Einfach zusammenhängend/Kontrahierbar/Einführung/Textabschnitt


Ein topologischer Raum heißt einfach zusammenhängend, wenn er wegzusammenhängend ist und wenn jeder stetige geschlossene Weg in nullhomotop ist.

Der einfache Zusammenhang bedeutet also, dass ist (für einen beliebigen Aufpunkt ).


Ein topologischer Raum heißt kontrahierbar (oder zusammenziehbar) auf einen Punkt , wenn es eine stetige Abbildung

derart gibt, dass die Eigenschaften

  1. ,
  2. ,
  3. für alle

gelten.

Beispielsweise ist der und jede sternförmige Menge im kontrahierbar und nach dem folgenden Satz auch einfach zusammenhängend.



Eine sternförmige Teilmenge

ist kontrahierbar.

Es sei sternförmig bezüglich des Punktes . Dann ist

eine Kontraktion von auf den Punkt .



Die Fundamentalgruppe eines kontrahierbaren Raumes

ist trivial.

Es sei

die Kontraktion des topologischen Raumes auf den Punkt und es sei

ein stetiger geschlossener Weg in mit Aufpunkt . Wir betrachten die zusammengesetzte Abbildung

und behaupten, dass dies eine Homotopie zwischen und dem konstanten Weg ergibt. Dies folgt aus

für alle ,

für alle ,

für alle und

für alle . Dies bedeutet, dass nullhomotop ist.


Ein kontrahierbarer Raum ist also einfach zusammenhängend.