Vektorräume/Homomorphiesatz/Textabschnitt

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V,Q$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$. Es sei ${}\varphi \colon V\rightarrow W$ eine lineare Abbildung und ${}\psi \colon V\rightarrow Q$ eine surjektive lineare Abbildung. Es sei vorausgesetzt, dass

${}\operatorname {kern} \psi \subseteq \operatorname {kern} \varphi \,$

ist.

Dann gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung

${\tilde {\varphi }}\colon Q\longrightarrow W$

derart, dass ${}\varphi ={\tilde {\varphi }}\circ \psi$ ist.

Mit anderen Worten: das Diagramm

${\begin{matrix}V&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&W&\\\!\!\!\!\!\psi \downarrow &\nearrow &\\Q&&&&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

ist kommutativ.

Beweis

Für jedes Element ${}u\in Q$ gibt es mindestens ein ${}v\in V$ mit ${}\psi (v)=u$. Wegen der Kommutativität muss ${}{\tilde {\varphi }}(u)=\varphi (v)$ gelten. Das bedeutet, dass es maximal ein ${}{\tilde {\varphi }}$ geben kann. Wir haben zu zeigen, dass durch diese Bedingung eine wohldefinierte Abbildung gegeben ist. Es seien also ${}v,v'\in V$ zwei Urbilder von ${}u$. Dann ist

${}v'-v\in \operatorname {kern} \psi \subseteq \operatorname {kern} \varphi \,$

und daher ist ${}\varphi (v)=\varphi (v')$. Die Abbildung ist also wohldefiniert.
Es seien ${}u,u'\in Q$ und seien ${}v,v'\in V$ Urbilder davon. Dann ist ${}v+v'$ ein Urbild von ${}u+u'$ und daher ist

${}{\tilde {\varphi }}(u+u')=\varphi (v+v')=\varphi (v)+\varphi (v')={\tilde {\varphi }}(u)+{\tilde {\varphi }}(u')\,.$

D.h. ${}{\tilde {\varphi }}$ ist mit der Addition verträglich.
Es sei ${}u\in Q$ mit einem Urbild ${}v\in V$ und sei ${}\lambda \in K$. Dann ist ${}\lambda v$ ein Urbild von ${}\lambda u$ und daher ist

${}{\tilde {\varphi }}(\lambda u)=\varphi (\lambda v)=\lambda \varphi (v)=\lambda {\tilde {\varphi }}(u)\,,$

also ist ${}{\tilde {\varphi }}$ auch mit der Skalarmultiplikation verträglich.

$\Box$

Die im vorstehenden Satz konstruierte Abbildung ${}{\tilde {\varphi }}$ heißt induzierte lineare Abbildung und entsprechend heißt der Satz auch der Satz über die induzierte Abbildung.

Korollar

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine surjektive lineare Abbildung zwischen zwei ${}K$-Vektorräumen.

Dann gibt es eine kanonische lineare Isomorphie

${\tilde {\varphi }}\colon V/\operatorname {kern} \varphi \longrightarrow W.$

Beweis

Wir wenden Fakt auf ${}Q=V/\operatorname {kern} \varphi$ und die kanonische Projektion ${}q\colon V\rightarrow V/\operatorname {kern} \varphi$ an. Dies induziert eine lineare Abbildung

${\tilde {\varphi }}\colon V/\operatorname {kern} \varphi \longrightarrow W$

mit ${}\varphi ={\tilde {\varphi }}\circ q$, die surjektiv ist. Sei ${}[x]\in V/\operatorname {kern} \varphi$ und ${}[x]\in \operatorname {kern} {\tilde {\varphi }}$. Dann ist

${}{\tilde {\varphi }}([x])=\varphi (x)=0\,,$

also ${}x\in \operatorname {kern} \varphi$. Damit ist ${}[x]=0$ in ${}V/\operatorname {kern} \varphi$, d.h. der Kern von ${}{\tilde {\varphi }}$ ist trivial und nach Fakt ist ${}{\tilde {\varphi }}$ auch injektiv.

$\Box$

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung zwischen zwei ${}K$-Vektorräumen.

Dann gibt es eine kanonische Faktorisierung

$V{\stackrel {q}{\longrightarrow }}V/\operatorname {kern} \varphi {\stackrel {\theta }{\longrightarrow }}\operatorname {bild} \varphi {\stackrel {\iota }{\hookrightarrow }}W,$

wobei ${}q$ die kanonische Projektion, ${}\theta$ ein Vektorraum-Isomorphismus und ${}i$ die kanonische Inklusion des Bildraumes in ${}W$ ist.

Beweis

Dies folgt aus Fakt, angewendet aud die surjektive Abbildung

$V\longrightarrow \operatorname {bild} \varphi .$

$\Box$

Diese Aussage wird häufig kurz und prägnant so formuliert:

Bild ${}=$ Urbild modulo Kern.