Vektorraum/Basiswechsel/Einführung/Textabschnitt

Wir wissen nach Fakt, dass in einem endlichdimensionalen Vektorraum je zwei Basen die gleiche Länge haben, also die gleiche Anzahl von Basisvektoren besitzen. Jeder Vektor besitzt bezüglich einer jeden Basis eindeutig bestimmte Koordinaten (oder Koeffizienten). Wie verhalten sich diese Koordinaten zu zwei Basen untereinander? Dies beantwortet die folgende Aussage.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum der Dimension ${}n$. Es seien ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und ${}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{n}$ zwei Basen von ${}V$. Es sei

${}v_{j}=\sum _{i=1}^{n}c_{ij}w_{i}\,$

mit den Koeffizienten ${}c_{ij}\in K$, die wir zur ${}n\times n$-Matrix

${}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}={\left(c_{ij}\right)}_{ij}\,$

zusammenfassen.

Dann hat ein Vektor ${}u$, der bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {v}}$ die Koordinaten ${}{\begin{pmatrix}s_{1}\\\vdots \\s_{n}\end{pmatrix}}$ besitzt, bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {w}}$ die Koordinaten

${}{\begin{pmatrix}t_{1}\\\vdots \\t_{n}\end{pmatrix}}=M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}{\begin{pmatrix}s_{1}\\\vdots \\s_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&\ldots &c_{1n}\\c_{21}&c_{22}&\ldots &c_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{n1}&c_{n2}&\ldots &c_{nn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}s_{1}\\\vdots \\s_{n}\end{pmatrix}}\,.$

Beweis

Dies folgt direkt aus

${}u=\sum _{j=1}^{n}s_{j}v_{j}=\sum _{j=1}^{n}s_{j}{\left(\sum _{i=1}^{n}c_{ij}w_{i}\right)}=\sum _{i=1}^{n}{\left(\sum _{j=1}^{n}s_{j}c_{ij}\right)}w_{i}\,$

und der Definition der Matrizenmultiplikation.

$\Box$

Die Matrix ${}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}$, die den Basiswechsel von ${}{\mathfrak {v}}$ nach ${}{\mathfrak {w}}$ beschreibt, nennt man auch die Transformationsmatrix (oder Übergangsmatrix). In der ${}j$-ten Spalte der Transformationsmatrix stehen also die Koordinaten von ${}v_{j}$ bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {w}}$. Wenn man zu einer Basis ${}{\mathfrak {v}}$ und einem Vektor ${}u\in V$ das zugehörige Koordinatentupel mit ${}\Psi _{\mathfrak {v}}(u)$ bezeichnet, so kann man den Übergang kurz als

${}\Psi _{\mathfrak {w}}(u)=M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\Psi _{\mathfrak {v}}(u))\,$

schreiben.

Beispiel

Wir betrachten im ${}\mathbb {R} ^{2}$ die Standardbasis

${}{\mathfrak {u}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\,$

und die Basis

${}{\mathfrak {v}}={\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}}\,.$

Die Basisvektoren von ${}{\mathfrak {v}}$ lassen sich direkt mit der Standardbasis ausdrücken, nämlich

$v_{1}={\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}=1{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+2{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,v_{2}={\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}}=-2{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+3{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}.$

Daher erhält man sofort

${}M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}={\begin{pmatrix}1&-2\\2&3\end{pmatrix}}\,.$

Zum Beispiel hat der Vektor, der bezüglich ${}{\mathfrak {v}}$ die Koordinaten ${}(4,-3)$ besitzt, bezüglich der Standardbasis ${}{\mathfrak {u}}$ die Koordinaten

${}M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}{\begin{pmatrix}4\\-3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&-2\\2&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}4\\-3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}10\\-1\end{pmatrix}}\,.$

Die Übergangsmatrix ${}M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}$ ist schwieriger zu bestimmen: Dazu müssen wir die Standardvektoren als Linearkombinationen von ${}v_{1}$ und ${}v_{2}$ ausdrücken. Eine direkte Rechnung (dahinter steckt das simultane Lösen von zwei linearen Gleichungssystemen) ergibt

${}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\frac {3}{7}}{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}-{\frac {2}{7}}{\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}}\,$

und

${}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}={\frac {2}{7}}{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}+{\frac {1}{7}}{\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}}\,.$

Somit ist

${}M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}={\begin{pmatrix}{\frac {3}{7}}&{\frac {2}{7}}\\-{\frac {2}{7}}&{\frac {1}{7}}\end{pmatrix}}\,.$