Zahlbereich/Beträge/Körpererweiterung/Textabschnitt

Definition

Zu einer endlichen Körpererweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq K$ und einem Betrag ${}v\in M_{K}$ nennt man den Grad der Körpererweiterung der Komplettierungen ${}\mathbb {Q} _{v}\subseteq K_{v}$ den lokalen Grad in ${}v$.

Für einen nichtarchimedischen Betrag zu einem Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ (aus dem Zahlbereich ${}R$ zu ${}K$) über ${}(p)$ ist ${}n_{v}$ das Produkt aus Trägheitsgrad, also dem Grad der Körpererweiterung

${}\mathbb {Z} /(p)\subseteq \kappa ({\mathfrak {p}})\,$

und dem Verzweigungsindex von

${}\mathbb {Z} _{(p)}\subseteq R_{\mathfrak {p}}\,.$

Bei einem archimedischen Betrag ist der lokale Grad ${}1$ im reellen und ${}2$ im komplexen Fall.

Satz

Es seien ${}\mathbb {Q} \subseteq K\subseteq L$ endliche Körpererweiterungen und es sei ${}v\in M_{K}$ ein Betrag.

Dann gilt für die Beträge aus ${}L$ oberhalb von ${}v$ die Gleichung

${}\sum _{w\in M_{L},\,w{\text{ über }}v}n_{w}=n_{v}\operatorname {grad} _{K}L\,.$

Beweis

Wir betrachten zuerst den nichtarchimedischen Fall, es sei also ${}\mathbb {Z} \subseteq R\subseteq S$ die zugehörige Erweiterung der Zahlbereiche und es sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein maximales Ideal von ${}R$ und seien ${}{\mathfrak {q}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {q}}_{k}$ die Primideale oberhalb von ${}{\mathfrak {p}}$. Es seien ${}e,f,e_{j},f_{j}$ Verzweigungsindex und Trägheitsgrad von ${}{\mathfrak {p}}$ über

${}(p)=\mathbb {Z} \cap {\mathfrak {p}}\,$

bzw. von ${}{\mathfrak {q}}_{j}$ über ${}{\mathfrak {p}}$. Dann sind die Verzweigungsindexe bzw. Trägheitsgrade von ${}{\mathfrak {q}}_{j}$ über ${}(p)$ gleich ${}ee_{j}$ bzw. ${}ff_{j}$. Daher ist

${}{\begin{aligned}\sum _{w\in M_{L},\,w{\text{ über }}v}n_{w}&=\sum _{j=1}^{k}n_{{\mathfrak {q}}_{j}}\\&=\sum _{j=1}^{k}ee_{j}ff_{j}\\&=ef\sum _{j=1}^{k}e_{j}f_{j}\\&=n_{\mathfrak {p}}\operatorname {grad} _{K}L\\&=n_{v}\operatorname {grad} _{K}L\end{aligned}}$

unter Verwendung von Fakt.

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Satz

Es sei ${}K$ ein Zahlkörper. ${}M_{K}$ die Menge der standardisierten Beträge auf ${}K$.

Dann gilt

${}\prod _{v\in M_{K}}\vert {x}\vert _{v}^{n_{v}}=1\,$

für alle ${}x\in K$, ${}x\neq 0$, wobei ${}n_{v}$ den lokalen Grad bezeichnet.

Beweis

Wir können ${}x\in R$ annehmen. Es sei

${}(x)={\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}\,$

Es gilt

${}\vert {N(x)}\vert =N{\left({\mathfrak {p}}_{1}\right)}^{r_{1}}\cdots N{\left({\mathfrak {p}}_{k}\right)}^{r_{k}}\,$

nach Fakt und Fakt. Es ist (vergleiche Bemerkung)

${}{\begin{aligned}\prod _{v\in M_{K}}\vert {x}\vert _{v}^{n_{v}}&=\prod _{v\in M_{K}{\text{ archimedisch}}}\vert {x}\vert _{v}^{n_{v}}\cdot \prod _{v\in M_{K}{\text{ nichtarchimedisch}}}\vert {x}\vert _{v}^{n_{v}}\\&=\prod _{v\in M_{K}{\text{ archimedisch}}}\vert {x}\vert _{v}^{n_{v}}\cdot \prod _{j=1}^{k}\vert {x}\vert _{{\mathfrak {p}}_{j}}^{e_{j}f_{j}}\\&=\prod _{v\in M_{K}{\text{ archimedisch}}}\vert {x}\vert _{v}^{n_{v}}\cdot \prod _{j=1}^{k}N{\left({\mathfrak {p}}_{j}\right)}^{-r_{j}}\\&=\prod _{v\in M_{K}{\text{ archimedisch}}}\vert {x}\vert _{v}^{n_{v}}\cdot \vert {N{\left(x\right)}}\vert ^{-1}.\end{aligned}}$

Nach Fakt ist aber auch

${}\vert {N(x)}\vert =\prod _{j}\vert {L_{j}(x)}\vert =\prod _{v\in M_{K}{\text{ archimedisch}}}\vert {x}\vert _{v}^{n_{v}}\,,$

wobei ${}L_{j}$ die verschiedenen reellen und komplexen Einbettungen von ${}K$ durchläuft.

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