Zahlbereich/Differentiale/Verzweigung/Textabschnitt
Es sei ein vollkommener Körper und eine lokale endlichdimensionale -Algebra.
Dann ist genau dann reduziert (also ein Körper) wenn der Modul der Kählerdifferentiale gleich ist.
Wenn reduziert ist, so liegt eine endliche Körpererweiterung vor, die wegen der Vollkommenheit des Grundkörpers separabel ist und deshalb nach dem Satz vom primitiven Element von einem Element erzeugt ist, sagen wir . Nach Fakt erzeugen und das Einheitsideal und somit folgt aus , dass sogar ist. Somit folgt die Aussage aus Fakt.
Es sei nun angenommen, dass nicht reduziert ist. Es ist zu zeigen, dass es nichttriviale Kählerdifferentiale gibt. Da eine lokale Algebra ist, ist ein Element darin entweder eine Einheit oder gehört zum maximalen Ideal. Zu einer Einheit , , ist ein Erweiterungskörper von . Indem wir so den Grundkörper vergrößern, können wir wegen Fakt annehmen, dass nur die Elemente aus Einheiten in sind. Dann ist
und die gehören zum maximalen Ideal . Indem wir die Restklassenabbildung
betrachten und Fakt heranziehen, können wir davon ausgehen, dass die Situation
vorliegt, wobei mindestens ein Erzeuger ist. Mit dem gleichen Lemma können wir modulo gehen und erhalten die Situation . Dafür zeigt Fakt, dass ist.
Es sei ein Zahlbereich.
Dann ist die Ringerweiterung in einem Primideal genau dann verzweigt, wenn
ist.
Es sei , und wir können wegen Fakt direkt zu
übergehen. Die Bedingung
ist äquivalent zu
da ja ein endlicher erzeugter -Modul über dem lokalen Ring ist. Wegen der natürlichen Surjektion
ist dies auch äquivalent zu
Nach Fakt angewendet auf
ist
und dies ist die Lokalisierung von an . Somit ist die Lokalisierung von an genau dann von verschieden, wenn lokalisiert an von verschieden ist. Die Bedingung an den Modul der Kähler-Differentiale spielt sich somit allein in der speziellen Faser über ab. Nach (dem Beweis zu) Fakt liegt in genau dann Verzweigung vor, wenn nicht reduziert ist. Deshalb folgt die Aussage aus Fakt.