Zahlenraum/Ebenen und Geraden/Einführung/Textabschnitt

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und sei

${}ax+by+cz=d\,$

eine lineare Gleichung in drei Variablen über ${}K$ mit ${}(a,b,c)\neq 0$.

Dann ist die Lösungsmenge eine Ebene im ${}K^{3}$. Wenn ${}a\neq 0$ ist, so kann man als Richtungsvektoren die beiden Vektoren ${}{\begin{pmatrix}b\\-a\\0\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}c\\0\\-a\end{pmatrix}}$ nehmen.

Beweis

Dies folgt aus Fakt und daraus, dass die beiden angegebenen Vektoren offenbar Lösungen der zugehörigen homogenen linearen Gleichung sind, die wegen ${}a\neq 0$ kein Vielfaches voneinander sind. Man kann auch jede Lösung als Linearkombination dieser beiden Lösungen schreiben, es ist nämlich

${}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}=-{\frac {y}{a}}{\begin{pmatrix}b\\-a\\0\end{pmatrix}}-{\frac {z}{a}}{\begin{pmatrix}c\\0\\-a\end{pmatrix}}\,.$

Also handelt es sich um Basislösungen.

$\Box$

Beispiel

Wir betrachten die Menge

${}E={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbb {Q} ^{3}\mid 5x-y+3z=0\right\}}\,.$

Nach Fakt hat diese Ebene in Punktrichtungsform die Beschreibung

${}E={\left\{r{\begin{pmatrix}3\\0\\-5\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}1\\5\\0\end{pmatrix}}\mid r,s\in \mathbb {Q} \right\}}\,.$

Beispiel

Wir betrachten die beiden Mengen

${}E={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbb {Q} ^{3}\mid 5x-y+3z=0\right\}}\,$

(aus Beispiel) und

${}F={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbb {Q} ^{3}\mid 4x+2y-7z=0\right\}}\,$

und interessieren uns für den Durchschnitt

${}G:=E\cap F={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbb {Q} ^{3}\mid 5x-y+3z=0{\text{ und }}4x+2y-7z=0\right\}}\,.$

Ein Punkt liegt genau dann im Durchschnitt, wenn er simultan beide Bedingungen, also beide Gleichungen (nennen wir sie ${}I$ und ${}II$), erfüllt, es geht also um die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems

${\begin{matrix}5x\,\,\,\,-y+3z&=&0\\4x+2y-7z&=&0\,.\end{matrix}}$

Mit dem Eliminationsverfahren erhält man die Gleichung

${}4I-5II=-14y+47z=0\,.$

Daher ist

${}y={\frac {47}{14}}z\,$

und

${}x={\frac {1}{5}}y-{\frac {3}{5}}z={\frac {1}{5}}\cdot {\frac {47}{14}}z-{\frac {3}{5}}z={\frac {47}{70}}z-{\frac {42}{70}}z={\frac {1}{14}}z\,$

sein. Somit ist

${}G={\left\{{\begin{pmatrix}{\frac {1}{14}}z\\{\frac {47}{14}}z\\z\end{pmatrix}}\mid z\in \mathbb {R} \right\}}\,.$

Wir besprechen ein geometrisches Beispiel ähnlich zu Beispiel, wobei jetzt die Gleichungen nicht homogen sein müssen.

Beispiel

Zwei Ebenen im Raum, die sich in einer Geraden schneiden.

Im ${}\mathbb {R} ^{3}$ seien zwei Ebenen

${}E={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid 4x-2y-3z=5\right\}}\,$

und

${}F={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid 3x-5y+2z=1\right\}}\,$

gegeben. Wie kann man die Schnittgerade ${}G=E\cap F$ beschreiben? Ein Punkt ${}P=(x,y,z)$ liegt genau dann auf der Schnittgerade, wenn er die beiden Ebenengleichungen erfüllt; es muss also sowohl

$4x-2y-3z=5\,\,{\text{ als auch }}\,\,3x-5y+2z=1$

gelten. Wir multiplizieren die erste Gleichung mit ${}3$ und ziehen davon das ${}4$-fache der zweiten Gleichung ab und erhalten

${}14y-17z=11\,.$

Wenn man ${}y=0$ setzt, so muss ${}z=-{\frac {11}{17}}$ und ${}x={\frac {13}{17}}$ sein. D.h. der Punkt ${}P=\left({\frac {13}{17}},\,0,\,-{\frac {11}{17}}\right)$ gehört zu ${}G$. Ebenso findet man, indem man ${}z=0$ setzt, den Punkt ${}Q=\left({\frac {23}{14}},\,{\frac {11}{14}},\,0\right)$. Damit ist die Schnittgerade die Verbindungsgerade dieser Punkte, also

${}G={\left\{\left({\frac {13}{17}},\,0,\,-{\frac {11}{17}}\right)+t\left({\frac {209}{238}},\,{\frac {11}{14}},\,{\frac {11}{17}}\right)\mid t\in \mathbb {R} \right\}}\,.$