Eine Funktion
-
nennt man
zahlentheoretische Funktion.
Eine zahlentheoretische Funktion ist also einfach eine komplexwertige Folge. Im zahlentheoretischen Kontext sind die beiden folgenden Definitionen wichtig.
Eine
zahlentheoretische Funktion
-
heißt
multiplikativ,
wenn für
teilerfremde
Zahlen stets
-
gilt.
An multiplikativen zahlentheoretischen Funktionen haben wir bisher die
eulersche
-Funktion, die
Teileranzahlfunktion
und oben die
Teilersummenfunktion
kennengelernt.
Diese Summe kann man auch in der Form
-
schreiben. Summiert wird nur über die positiven Teilerpaare, was bei dieser Schreibweise übersehen werden könnte.
Es seien multiplikativ und es seien
teilerfremde
natürliche Zahlen. Zu einer Faktorzerlegung
-
gibt es aufgrund der Teilerfremdheit eine eindeutige Aufspaltung
und
mit und teilerfremd und mit
und
.
Daher ist
also ist auch multiplikativ.
Die zahlentheoretische Funktion
,
die durch
-
gegeben ist, heißt
Möbius-Funktion.
Für die Faltung von zahlentheoretischen Funktionen gelten die folgenden Aussagen.
- Die
Faltung
ist eine kommutative und assoziative Verknüpfung.
- Die Faltungseinheit ist das neutrale Element der Verküpfung.
- Es ist
-
Beweis
Siehe
Aufgabe.