Adjungierter Endomorphismus/Einführung/Textabschnitt
Definition
Es sei ein -Vektorraum mit Skalarprodukt und
ein Endomorphismus. Man nennt einen Endomorphismus
adjungiert zu , wenn
für alle gilt.
Beispiel
Zu einer Isometrie
auf einem euklidischen Vektorraum ist die Umkehrabbildung der adjungierte Endomorphismus. Es ist ja in diesem Fall
Beispiel
Zu einer Streckung auf einem -Vektorraum mit Skalarprodukt mit dem Streckungsfaktor ist die Streckung mit dem Streckungsfaktor die adjungierte Abbildung. Es ist ja
Beispiel
besitze eine Orthonormalbasis (bezüglich des Standardskalarproduktes) aus Eigenvektoren, d.h. die beschreibende Matrix besitzt die Diagonalgestalt
Dann wird der adjungierte Endomorphismus durch die komplex-konjugierte Matrix
beschrieben. Es ist ja einerseits
und andererseits
Bei ist dies beides gleich und bei steht beidseitig .
Lemma
Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit Skalarprodukt und sei
ein Endomorphismus.
Dann existiert der adjungierte Endomorphismus zu und ist eindeutig bestimmt.
Beweis
Es sei
gegeben und fixiert. Dann ist die Abbildung
eine Linearform auf . Daher gibt es (nach Fakt im reellen Fall, für den komplexen Fall siehe Aufgabe) einen durch und eindeutig bestimmten Rechtsgradienten aus mit
linear ist. Es ist
Da dies für alle gilt, muss
sein. Ferner ist
Da dies für alle gilt, ist
Wie im Beweis dieses Satzes wird der adjungierte Endomorphismus mit bezeichnet. Wenn man die Zuordnung, die einem Vektor die Linearform zuordnet, mit bezeichnet, so ist
wobei
die duale Abbildung bezeichnet.
Lemma
Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit Skalarprodukt . Es sei
ein Endomorphismus, der bezüglich der Orthonormalbasis durch die Matrix beschrieben werde.
Dann wird der adjungierte Endomorphismus bezüglich dieser Basis durch die Matrix beschrieben.
Beweis
Es sei die Orthonormalbasis und es seien
bzw.
die Matrizen von bzw. bezüglich dieser Basis. Dann ist insbesondere
und
Aufgrund der Adjungiertheit gilt die Beziehung
D.h.
und umgekehrt.
Lemma
Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit Skalarprodukt . Dann erfüllt der adjungierte Endomorphismus folgende Eigenschaften (dabei seien Endomorphismen).