Affine Varietät/Punkt/Jacobi-Matrix und regulär/Textabschnitt

Satz

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper

${}P\in V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\,$

ein Punkt der affin-algebraischen Menge zum Ideal ${}{\mathfrak {a}}=(f_{1},\ldots ,f_{m})$ mit dem lokalen Ring

${}R=(K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}})_{{\mathfrak {m}}_{P}}\,.$

Dann ist der Punkt genau dann glatt, wenn ${}R$ regulär ist.

Beweis

Ohne Einschränkung sei ${}P$ der Nullpunkt mit dem zugehörigen maximalen Ideal ${}{\mathfrak {n}}=(X_{1},\ldots ,X_{n})$ im Polynomring, dem zugehörigen maximalen Ideal ${}{\mathfrak {r}}={\mathfrak {n}}/{\mathfrak {a}}$ in ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$ und dem zugehörigen maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}={\mathfrak {m}}_{P}={\mathfrak {r}}(K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}})_{\mathfrak {r}}$ in ${}R$. Wir betrachten die ${}K$-lineare Abbildung

$K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow K^{n},\,g\longmapsto ((\partial _{1}g)(P),\ldots ,(\partial _{n}g)(P)).$

Dabei werden die Variablen ${}X_{i}$ auf die Standardvektoren ${}e_{i}$ abgebildet und die Abbildung ist surjektiv. Ein Element

${}g=c_{0}+c_{1}X_{1}+\cdots +c_{n}X_{n}+{\text{ höhere Terme}}\,$

wird auf ${}\left(c_{1},\,\ldots ,\,c_{n}\right)$ abgebildet. Ein homogenes Element

${}g\in {\mathfrak {n}}^{2}=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{\geq 2}\,$

besitzt zumindest den Grad ${}2$ und wird daher auf ${}0$ abgebildet, da die partiellen Ableitungen den Grad um ${}1$ reduzieren und somit ergibt sich jeweils ein Element von positivem Grad. Durch Einsetzen des Nullpunktes ergibt sich dann ${}0$. Insgesamt induziert dies eine ${}K$-lineare Abbildung

${\mathfrak {n}}/{\mathfrak {n}}^{2}\longrightarrow K^{n},$

die bijektiv ist, da die Räume die gleiche Vektorraumdimension besitzen.

Nach Fakt ist ${}{\mathfrak {r}}/{\mathfrak {r}}^{2}\cong {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}$. Unter der surjektiven Abbildung

${\mathfrak {n}}\longrightarrow {\mathfrak {r}}\longrightarrow {\mathfrak {r}}/{\mathfrak {r}}^{2}$

wird ${}{\mathfrak {n}}^{2}$ und ${}{\mathfrak {a}}$ auf ${}0$ abgebildet, und zwar ist der Kern genau ${}{\mathfrak {n}}^{2}+{\mathfrak {a}}$. Somit gibt es eine ${}K$-lineare Bijektion

${\mathfrak {n}}/({\mathfrak {n}}^{2}+{\mathfrak {a}})\longrightarrow {\mathfrak {r}}/{\mathfrak {r}}^{2}.$

Wir betrachten die Abbildungen

$K^{m}{\stackrel {\operatorname {Jak} }{\longrightarrow }}K^{n}\cong {\mathfrak {n}}/{\mathfrak {n}}^{2}\longrightarrow {\mathfrak {n}}/{\left({\mathfrak {n}}^{2}+{\mathfrak {a}}\right)}.$

Ein Element ${}[g]\in {\mathfrak {n}}/{\mathfrak {n}}^{2}$ wird rechts genau dann auf ${}0$ geschickt, wenn der lineare Anteil von ${}g$ zu ${}{\mathfrak {n}}^{2}+{\mathfrak {a}}$ gehört. Dies bedeutet, dass eine Gleichung der Form

${}g=\sum _{i=1}^{m}h_{i}f_{i}\,$

modulo ${}{\mathfrak {n}}^{2}$ besteht und dies bedeutet (für die ${}h_{i}$ ist nur der konstante Term relevant), dass eine lineare Gleichung der Form

${}{\begin{pmatrix}(\partial _{1}g)(P)\\\vdots \\(\partial _{n}g)(P)\end{pmatrix}}=\sum _{i=1}^{m}h_{i}{\begin{pmatrix}(\partial _{1}f_{i})(P)\\\vdots \\(\partial _{n}f_{i})(P)\end{pmatrix}}\,$

Dies ist genau dann der Fall, wenn ${}{\begin{pmatrix}(\partial _{1}g)(P)\\\vdots \\(\partial _{n}g)(P)\end{pmatrix}}$ im Bild der Jacobimatrix liegt. Daher ist das Bild der Jacobimatrix gleich dem Kern der surjektiven Abbildung rechts. Somit ist nach der Dimensionsformel

${}n=\operatorname {rang} \,(\operatorname {Jak} )+\dim _{K}{\left({\mathfrak {n}}/{\left({\mathfrak {n}}^{2}+{\mathfrak {a}}\right)}\right)}=\operatorname {rang} \,(\operatorname {Jak} )+\dim _{K}{\left({\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}\right)}\,.$

Es sei nun ${}d$ die Dimension von ${}V({\mathfrak {a}})$ im Punkt ${}P$, die mit der Dimension des lokalen Ringes ${}R$ übereinstimmt. Nach Definition ist ${}P$ genau dann nichtsingulär, wenn ${}n=\operatorname {rang} \,(\operatorname {Jak} )+d$ ist. Dies ist daher genau dann der Fall, wenn

${}\dim _{K}{\left({\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}\right)}=d\,$

ist, und dies ist die Definition eines regulären Ringes.

$\Box$