Affine Varietäten/Zariski-Topologie/Einführung/Textabschnitt

Definition

In einem affinen Raum ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ versteht man unter der Zariski-Topologie diejenige Topologie, bei der die affin-algebraischen Mengen als abgeschlossen erklärt werden.

Die offenen Mengen der Zariski-Topologie sind also die Komplemente der affin-algebraischen Mengen. Sie werden zu einem Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ mit

{}D({\mathfrak {a}})={{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\setminus V({\mathfrak {a}})\,

bezeichnet. Die Zariski-Topologie weicht sehr stark von anderen Topologien ab, insbesondere von solchen, die durch eine Metrik gegeben sind. Insbesondere ist die Zariski-Topologie nicht hausdorffsch. Generell kann man sagen, dass die offenen Mengen (außer der leeren Menge) in der Zariski-Topologie sehr groß sind (siehe Aufgabe), während die abgeschlossenen (also die affin-algebraischen Mengen) sehr dünn sind (außer dem ganzen Raum selbst).

Beispiel

Die Zariski-Topologie auf der affinen Geraden ${}{\mathbb {A} }_{K}^{1}$ über einem Körper ${}K$ lässt sich einfach beschreiben. Als (Zariski)-abgeschlossene Teilmenge haben wir zunächst einmal die gesamte affine Gerade, die durch ${}V(0)$ beschrieben wird. Alle anderen abgeschlossenen Teilmengen werden durch ${}V({\mathfrak {a}})$ mit ${}{\mathfrak {a}}\neq 0$ beschrieben. Da ${}K[X]$ ein Hauptidealbereich ist, kann man sogar ${}{\mathfrak {a}}=(f)$ , ${}f\neq 0$ , ansetzen. Die zugehörige Nullstellenmenge besteht also aus endlich vielen Punkten. Andererseits ist jeder einzelne Punkt ${}P$ mit der Koordinate ${}a$ die einzige Nullstelle des linearen Polynoms ${}X-a$ , also ist ${}\{P\}=V(X-a)$ Zariski-abgeschlossen. Eine endliche Ansammlung von Punkten ${}P_{1},\ldots ,P_{k}$ mit den Koordinaten ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$ ist die Nullstellenmenge des Polynoms ${}(X-a_{1})\cdots (X-a_{k})$ . Die Zariski-abgeschlossenen Mengen der affinen Geraden bestehen also aus allen endlichen Teilmengen (einschließlich der leeren) und der gesamten Menge.

Beispiel

Jeder Punkt

{}P=(a_{1},\ldots ,a_{n})\in {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\,

ist Zariski-abgeschlossen, und zwar ist

{}P=V(X_{1}-a_{1},X_{2}-a_{2},\ldots ,X_{n}-a_{n})\,.

Punkte sind (neben der leeren Menge und dem gesamten Raum) die einfachsten affin-algebraischen Mengen. Das Ideal (genannt Punktideal) ${}(X_{1}-a_{1},X_{2}-a_{2},\ldots ,X_{n}-a_{n})$ ist maximal, siehe Aufgabe.