Affiner Raum/Affines Erzeugendensystem/Einführung/Textabschnitt

Lemma

Es sei ${}E$ ein affiner Raum über dem ${}K$-Vektorraum ${}V$.

Dann ist der Durchschnitt von einer Familie ${}F_{i}\subseteq E$, ${}i\in I$, von affinen Unterräumen wieder affin.

Beweis

Wenn der Durchschnitt leer ist, so gilt die Aussage nach Definition. Es sei ${}P\in \bigcap _{i\in I}F_{i}$. Wir können die affinen Unterräume als

${}F_{i}=P+U_{i}\,$

mit Untervektorräumen ${}U_{i}\subseteq V$ schreiben. Sei

${}U=\bigcap _{i\in I}U_{i}\,,$

was nach Fakt  (1) ein Untervektorraum ist. Wir behaupten

${}\bigcap _{i\in I}F_{i}=P+U\,.$

Aus ${}Q\in \bigcap _{i\in I}F_{i}$ folgt

${}Q=P+u\,$

mit ${}u\in \bigcap _{i\in I}U_{i}$, sodass ${}Q\in P+U$ liegt. Umgekehrt folgt aus ${}Q\in P+U$ direkt ${}Q\in P+U_{i}=F_{i}$.

$\Box$

Insbesondere gibt es zu jeder Teilmenge ${}T\subseteq E$ in einem affinen Raum ${}E$ einen kleinsten affinen Unterraum, der ${}T$ umfasst.

Lemma

Es sei ${}E$ ein affiner Raum über dem ${}K$-Vektorraum ${}V$ und ${}T\subseteq E$ eine Teilmenge.

Dann besteht der kleinste affine Unterraum ${}F\subseteq E$ von ${}E$, der ${}T$ umfasst, aus allen baryzentrischen Kombinationen

$\sum _{i=1}^{n}a_{i}P_{i}{\text{ mit }}P_{i}\in T{\text{ und }}\sum _{i=1}^{n}a_{i}=1.$

Beweis

Die angegebene Menge enthält die einzelnen Punkte aus ${}T$, da man als baryzentrisches Koordinatentupel insbesondere ein Standardtupel nehmen kann. Daher ergibt sich die Behauptung aus Fakt und Aufgabe.

$\Box$

Definition

Es sei ${}E$ ein affiner Raum über dem ${}K$-Vektorraum ${}V$ und sei ${}F\subseteq E$ ein affiner Unterraum. Eine Familie von Punkten ${}P_{i}\in F$, ${}i\in I$, heißt affines Erzeugendensystem von ${}F$, wenn ${}F$ der kleinste affine Unterraum von ${}E$ ist, der alle Punkte ${}P_{i}$ umfasst.

Ein Punkt erzeugt als affinen Raum den Punkt selbst, zwei Punkte erzeugen die Verbindungsgerade.