Affines Schema/Quasikohärenter Modul/Einführung/Textabschnitt

Zu einem kommutativen Ring ${}R$ sind die ${}R$-Moduln wichtig und charakteristisch für den Ring, etwa Ideale, Restklassenringe, projektive Moduln, der Modul der Kählerdifferentiale u.s.w. Diese Moduln wollen wir im Kontext des Spektrums, also in einer geometrisierten Form, wiederfinden. Der Aufbau erfolgt parallel dazu, wie die Strukturgarbe auf dem Spektrum eingeführt wird.

Beispiel

Es sei ${}M$ ein ${}R$-Modul über dem kommutativen Ring ${}R$. Dann kann man eine Prägarbe von Moduln definieren, indem man zu einer offenen Menge ${}U\subseteq X$ die Festlegung

${}{\mathcal {P}}{\left(U\right)}=\operatorname {colim} _{U\subseteq D(f)}\,M_{f}\,$

trifft. Dies sind Moduln über dem Ring ${}\operatorname {colim} _{U\subseteq D(f)}\,R_{f}$ und es liegen natürliche Restriktionshomomorphismen vor, die mit den Modulstrukturen verträglich sind. Der Halm dieser Prägarbe in einem Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ ist ${}M_{\mathfrak {p}}$

Definition

Es sei ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ das affine Schema eines kommutativen Ringes ${}R$ und sei ${}M$ ein ${}R$-Modul. Unter dem zu ${}M$ gehörenden ${}{\mathcal {O}}_{X}$-Modul ${}{\widetilde {M}}$ auf ${}X$ versteht man die Zuordnung, die jeder offenen Menge ${}U\subseteq X$ die kommutative Gruppe

$\Gamma {\left(U,{\widetilde {M}}\right)}={\left\{{\left(s_{\mathfrak {p}}\right)}_{{\mathfrak {p}}\in U}\in \prod _{{\mathfrak {p}}\in U}M_{\mathfrak {p}}\mid {\text{ für alle }}{\mathfrak {p}}\in U{\text{ gibt es }}m\in M{\text{ und }}f\in R{\text{ mit }}{\mathfrak {p}}\in D(f)\subseteq U{\text{ und }}s_{\mathfrak {q}}={\frac {m}{f}}{\text{ in }}M_{\mathfrak {q}}{\text{ für alle }}{\mathfrak {q}}\in D(f)\right\}}\,$

zusammen mit der Skalarmultiplikation

$\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})\times \Gamma {\left(U,{\widetilde {M}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(U,{\widetilde {M}}\right)},\,{\left({\left(g_{\mathfrak {p}}\right)}_{{\mathfrak {p}}\in U},{\left(s_{\mathfrak {p}}\right)}_{{\mathfrak {p}}\in U}\right)}\longmapsto {\left(g_{\mathfrak {p}}s_{\mathfrak {p}}\right)}_{{\mathfrak {p}}\in U},$

zuordnet, und wobei jeder Inklusion ${}U\subseteq V$ die natürliche Projektion zugeordnet wird.

Wenn man mit dem Ring ${}R$ selbst startet, so erhält man die Strukturgarbe.

Lemma

Zu einem ${}R$-Modul über einem kommutativen Ring ${}R$ ist ${}{\widetilde {M}}$

ein ${}{\mathcal {O}}_{X}$-Modul auf dem affinen Schema ${}X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$.

Beweis

Dies beruht darauf, dass ${}{\widetilde {M}}$ als Vergarbung zur Prägarbe ${}U\mapsto \operatorname {colim} _{U\subseteq D(f)}\,M_{f}$ definiert wird und die Modulstruktur sich auf die Vergarbung vererbt.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ das affine Schema zu einem kommutativen Ring ${}R$ und es sei ${}x\in X$ ein Punkt, der dem Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ entspreche. Es sei ${}M$ ein ${}R$-Modul mit der zugehörigen Modulgarbe ${}{\widetilde {M}}$.

Dann ist der Halm dieser Garbe gleich

${}{\widetilde {M}}_{x}=M_{\mathfrak {p}}\,.$

Beweis

Dies ergibt sich aus Beispiel und Fakt  (2).

$\Box$

Lemma

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ das affine Schema zu einem kommutativen Ring ${}R$ und sei ${}M$ ein ${}R$-Modul mit der zugehörigen Modulgarbe ${}{\mathcal {O}}_{X}$-Modul ${}{\widetilde {M}}$. Es sei ${}f\in R$.

Dann ist

${}\Gamma {\left(D(f),{\widetilde {M}}\right)}=M_{f}\,.$

Insbesondere ist der globale Schnittmodul gleich ${}\Gamma {\left(X,{\widetilde {M}}\right)}=M$.

Beweis

Wir beweisen den angeführten Spezialfall. Es gibt einen natürlichen ${}R$-Modulhomomorphismus ${}M\rightarrow \Gamma {\left(X,{\widetilde {M}}\right)}$. Dieser ist injektiv, da man das Nullsein eines Elementes lokal testen kann, vergleiche Fakt. Zum Nachweis der Surjektivität sei ${}s\in \Gamma {\left(X,{\widetilde {M}}\right)}$ ein globales Element. Dies bedeutet, dass es eine offene Überdeckung

${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}=\bigcup _{i\in I}D(f_{i})\,$

und Elemente

${}s_{i}={\frac {a_{i}}{f_{i}^{k_{i}}}}\,$

mit ${}a_{i}\in M$ gibt, die als Schnitte über

${}D(f_{i})\cap D(f_{j})=D(f_{i}f_{j})\,,$

also als Elemente in ${}M_{f_{i}f_{j}}$ übereinstimmen. Nach Fakt können wir annehmen, dass ${}I$ endlich ist. Ferner können wir die ${}k_{i}$ durch ihr Maximum ${}k$ ersetzen (was natürlich die lokalen Zähler ${}a_{i}$ auch ändert). Die Verträglichkeit ${}{\frac {a_{i}}{f_{i}^{k}}}={\frac {a_{j}}{f_{j}^{k}}}$ bedeutet die Existenz von Gleichungen

${}(f_{i}f_{j})^{m}a_{i}f_{j}^{k}=(f_{i}f_{j})^{m}a_{j}f_{i}^{k}\,$

in ${}M$, wobei wir ${}m$ als ein Maximum gewählt haben. Nach Fakt  ((2), (4)) erzeugen die ${}f_{i}$, ${}i\in I$, das Einheitsideal. Dies gilt dann auch für die ${}f_{i}^{m+k}$, ${}i\in I$, d.h. es gibt ${}g_{i}\in R$ mit

${}1=\sum _{i\in I}g_{i}f_{i}^{m+k}\,.$

Wir setzen

${}a:=\sum _{i\in I}g_{i}a_{i}f_{i}^{m}\,.$

Es ist dann

${}{\begin{aligned}af_{j}^{m+k}&={\left(\sum _{i\in I}g_{i}a_{i}f_{i}^{m}\right)}f_{j}^{m+k}\\&=\sum _{i\in I}g_{i}(f_{i}f_{j})^{m}a_{i}f_{j}^{k}\\&=\sum _{i\in I}g_{i}(f_{i}f_{j})^{m}a_{j}f_{i}^{k}\\&=a_{j}f_{j}^{m}{\left(\sum _{i\in I}g_{i}f_{i}^{m+k}\right)}\\&=a_{j}f_{j}^{m}.\end{aligned}}$

Dies bedeutet wiederum ${}a={\frac {a_{j}}{f_{j}^{k}}}=s_{j}$ in ${}M_{f_{j}}$, d.h. der Schnitt wird von einem Modulelement repräsentiert.

Wir betrachten nun die Situation auf ${}D(f)$. Diese entspricht aber der behandelten Situation, wenn man ${}M_{f}$ als neuen Modul ansetzt.

$\Box$