Algebraische Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Ganzheitsring/Textabschnitt

Definition

Ein quadratischer Zahlbereich ist der Ring der ganzen Zahlen in einem Erweiterungskörper von ${}\mathbb {Q}$ vom Grad ${}2$.

Notation

Zu einer quadratfreien Zahl ${}D\neq 0,1$ bezeichnet man den zugehörigen quadratischen Zahlbereich, also den Ring der ganzen Zahlen in ${}\mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]$, mit

$A_{D}.$

Eine quadratische Körpererweiterung der rationalen Zahlen wird durch ein normiertes irreduzibles Polynom beschrieben, das man durch quadratisches Ergänzen auf die Form ${}X^{2}-q$ bringen kann. Durch Multiplikation mit einem Quadrat (siehe Aufgabe) kann man ${}q$ durch eine quadratfreie ganze Zahl ersetzen. Die quadratische Körpererweiterung kann man also als ${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]$ mit einer quadratfreien Zahl ${}D\neq 0,1$ ansetzen. Ein großer Unterschied besteht je nachdem, ob ${}D$ positiv oder negativ ist. Im positiven Fall ist ${}{\sqrt {D}}$ eine reelle irrationale Zahl, im negativen Fall handelt es sich um eine imaginäre Zahl. Man definiert:

Definition

Es sei ${}D\neq 0,1$ quadratfrei und sei ${}A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Dann heißt ${}A_{D}$ reell-quadratisch, wenn ${}D$ positiv ist, und imaginär-quadratisch, wenn ${}D$ negativ ist.

Definition

Es sei ${}D\neq 0,1$ eine quadratfreie Zahl und sei ${}\mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]$ die zugehörige quadratische Körpererweiterung und ${}A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Dann wird der Automorphismus (auf ${}\mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]$, auf ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]$ und auf ${}A_{D}$)

$a+b{\sqrt {D}}\longmapsto a-b{\sqrt {D}}$

als Konjugation bezeichnet.

Wir bezeichnen die Konjugation von ${}z$ mit ${}{\bar {z}}$.

Bemerkung  

Im imaginär-quadratischen Fall, wenn also ${}D<0$ ist, so ist ${}{\sqrt {D}}={\mathrm {i} }{\sqrt {-D}}$ mit ${}{\sqrt {-D}}$ reell. Die Konjugation schickt dies dann auf ${}-{\sqrt {D}}=-{\mathrm {i} }{\sqrt {-D}}$, sodass diese Konjugation mit der komplexen Konjugation übereinstimmt. Im reell-quadratischen Fall allerdings hat die Konjugation ${}{\sqrt {D}}\mapsto -{\sqrt {D}}$ nichts mit der komplexen Konjugation zu tun.

Bemerkung  

Bei einer endlichen Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ werden Norm und Spur eines Elementes ${}x\in L$ über die Determinante und die Spur der Multiplikationsabbildung ${}f\colon L\rightarrow L$ definiert. Im Fall einer quadratischen Erweiterung

${}\mathbb {Q} \subset \mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]\,$

sind diese beiden Invarianten einfach zu berechnen: Da ${}1$ und ${}{\sqrt {D}}$ eine ${}\mathbb {Q}$-Basis bilden, ist ${}z=a+b{\sqrt {D}}$ und damit ist die Multiplikationsmatrix durch

${\begin{pmatrix}a&bD\\b&a\end{pmatrix}}$

gegeben. Somit ist

${}N(z)=a^{2}-b^{2}D=(a+b{\sqrt {D}})(a-b{\sqrt {D}})=z{\overline {z}}\,$

und

${}S(z)=2a=(a+b{\sqrt {D}})+(a-b{\sqrt {D}})=z+{\overline {z}}\,.$

Lemma

Es sei ${}\mathbb {Q} \subset L$ eine quadratische Körpererweiterung und ${}f\in L$. Dann ist ${}f$ genau dann ganz über ${}\mathbb {Z}$, wenn sowohl die Norm als auch die Spur von ${}f$ zu ${}\mathbb {Z}$ gehören.

Beweis

Dies folgt aus Fakt, aus Fakt, und aus der Gestalt des Minimalpolynoms (nämlich gleich ${}f^{2}-S(f)f+N(f)$, falls ${}f\notin \mathbb {Q}$) im quadratischen Fall.

$\Box$

Wir kommen zur expliziten Beschreibung eines quadratischen Zahlbereiches.

Satz

Es sei ${}D\neq 0,1$ eine quadratfreie Zahl und ${}A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Dann gilt

$A_{D}={\mathbb {Z} }[{\sqrt {D}}],{\text{ wenn }}D=2,3\mod 4$

und

$A_{D}={\mathbb {Z} }[{\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}],{\text{ wenn }}D=1\mod 4.$

Beweis

Sei ${}x\in A_{D}$ gegeben, ${}x=a+b{\sqrt {D}}$, ${}a,b\in \mathbb {Q}$. Aus Fakt folgt

$N(x)=a^{2}-Db^{2}\in {\mathbb {Z} }{\text{ und }}S(x)=2a\in {\mathbb {Z} }.$

Aus der zweiten Gleichung folgt, dass ${}a={\frac {n}{2}}$ mit ${}n\in \mathbb {Z}$ ist. Sei ${}b={\frac {r}{s}}$ mit ${}r,s$ teilerfremd, ${}s\geq 1$. Die erste Gleichung wird dann zu ${}{\left({\frac {n}{2}}\right)}^{2}-D{\left({\frac {r}{s}}\right)}^{2}=k\in \mathbb {Z}$ bzw. ${}n^{2}-4D{\left({\frac {r}{s}}\right)}^{2}=4k$. Dies bedeutet, da ${}r$ und ${}s$ teilerfremd sind, dass ${}4D$ von ${}s^{2}$ geteilt wird. Da ferner ${}D$ quadratfrei ist, folgt, dass ${}s=1$ oder ${}s=2$ ist. Im ersten Fall ist ${}n$ ein Vielfaches von ${}2$ (da ${}n^{2}$ ein Vielfaches von ${}4$ ist), sodass ${}x\in \mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]$ ist.

Es sei also ${}s=2$, was zur Bedingung

${}n^{2}-Dr^{2}=4k\,$

führt. Wir betrachten diese Gleichung modulo ${}4$. Bei ${}n$ und ${}r$ gerade ist ${}x\in \mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]$. Die einzigen Quadrate in ${}\mathbb {Z} /(4)$ sind ${}0$ und ${}1$, sodass für ${}D=2,3\mod 4$ keine weitere Lösung existiert. Für ${}D=1\mod 4$ hingegen gibt es auch noch die Lösung ${}n=1\mod 2$ und ${}r=1\mod 2$, also ${}n$ und ${}r$ beide ungerade. Diese Lösungen gehören alle zu ${}{\mathbb {Z} }[{\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}]$.

Die umgekehrte Inklusion ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]\subseteq A_{D}$ ist klar, sei also ${}D=1\mod 4$. Dann ist aber

${}{\left({\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}\right)}^{2}-{\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}={\frac {1+D+2{\sqrt {D}}-2-2{\sqrt {D}}}{4}}={\frac {D-1}{4}}\in \mathbb {Z} \,,$

und dabei ist ${}{\frac {D-1}{4}}$ eine ganze Zahl, sodass dies sofort eine Ganzheitsgleichung über ${}\mathbb {Z}$ ergibt.

$\Box$

In den im vorstehenden Satz beschriebenen Fällen kann man jeweils den Ring der ganzen Zahlen durch eine Variable und eine Gleichung beschreiben. Für ${}D=2,3\mod 4$ ist

${}A_{D}\cong \mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]\cong \mathbb {Z} [X]/(X^{2}-D)\,.$

Für ${}D=1\mod 4$ setzt man häufig ${}\omega ={\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}$ für den Algebra-Erzeuger. Dieser Erzeuger erfüllt die Gleichung ${}\omega ^{2}-\omega -{\frac {D-1}{4}}=0$. Wir haben also

${}A_{D}\cong {\mathbb {Z} }[\omega ]/{\left(\omega ^{2}-\omega -{\frac {D-1}{4}}\right)}\,.$

Wir werden häufiger in beiden Fällen diese Ganzheitsbasis ${}1,\omega$ nennen, mit ${}\omega ={\sqrt {D}}$ im ersten Fall und

${}\omega ={\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}\,$

im zweiten Fall.

Lemma

Es sei ${}D\neq 0,1$ eine quadratfreie Zahl und ${}A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Dann ist die Diskriminante von ${}A_{D}$ gleich

$\triangle =4D,{\text{ wenn }}D=2,3\mod 4$

und

$\triangle =D,{\text{ wenn }}D=1\mod 4.$

Beweis

Im Fall ${}D=2,3\mod 4$ ist nach Fakt ${}A_{D}=\mathbb {Z} [X]/(X^{2}-D)$ und daher bilden ${}1$ und ${}X$ eine Ganzheitsbasis. Die möglichen Produkte zu dieser Basis sind in Matrixschreibweise

${\begin{pmatrix}1&X\\X&D\end{pmatrix}}.$

Wendet man darauf komponentenweise die Spur an so erhält man

${\begin{pmatrix}2&0\\0&2D\end{pmatrix}}$

und die Determinante davon ist ${}4D$.

Im Fall ${}D=1\mod 4$ ist hingegen

${}A_{D}=\mathbb {Z} [\omega ]/{\left(\omega ^{2}-\omega -{\frac {D-1}{4}}\right)}\,$

und eine Ganzheitsbasis ist ${}1$ und ${}\omega$. Die Matrix der Basisprodukte ist dann

${\begin{pmatrix}1&\omega \\\omega &\omega +{\frac {D-1}{4}}\end{pmatrix}}.$

Wendet man darauf die Spur an (die Spur von ${}\omega$ ist ${}1$), so erhält man

${\begin{pmatrix}2&1\\1&1+{\frac {D-1}{2}}\end{pmatrix}}$

und die Determinante davon ist

${}2{\left(1+{\frac {D-1}{2}}\right)}-1=2+D-1-1=D\,.$

$\Box$