Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/21/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}I=[1,\infty ]$ ein rechtsseitig unbeschränktes Intervall und sei

   $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   eine stetige fallende Funktion mit ${}f(x)\geq 0$ für alle ${}x\in I$. Dann existiert das uneigentliche Integral

   $\int _{1}^{\infty }f(t)\,dt$

   genau dann, wenn die Reihe

   $\sum _{n=1}^{\infty }f(n)$

   konvergiert.
2. Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}G\subseteq V$ eine offene Teilmenge und

   $f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

   eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Es sei ${}P\in G$ ein Punkt, in dem die Hesse-Form ${}\operatorname {Hess} _{P}\,f$ positiv definit sei. Dann gibt es eine offene Umgebung ${}U$, ${}P\in U\subseteq G$, derart, dass die Hesse-Form ${}\operatorname {Hess} _{Q}\,f$ in jedem Punkt ${}Q\in U$

   positiv definit ist.
3. Es seien ${}L$ und ${}M$ metrische Räume und es sei

   $f_{n}\colon L\longrightarrow M$

   eine Folge von stetigen Abbildungen, die gleichmäßig

   gegen die Abbildung ${}f$ konvergiert. Dann ist ${}f$ stetig.

Zur gelösten Aufgabe