Angeordneter Körper/Dezimalbruchfolgen/Divisionsalgorithmus/Einführung/Textabschnitt
Achtung! Eine Dezimalbruchfolge ist nicht das gleiche wie eine Folge von Dezimalbrüchen. Die Folge, die abwechselnd die Werte und besitzt, besteht auch nur aus Dezimalbrüchen. Hier ist wichtig, das bei einer Dezimalbruchfolge bei jedem Folgenglied sich die „Genauigkeit“ um ein erhöht, das folgende Glied liegt im Intervall
der Länge , das vom Vorgänger festgelegt ist.
Wir werden zeigen, dass es für jedes Element in einem archimedisch angeordneten Körper eine zugehörige kanonische Dezimalbruchfolge gibt, und dass diese im Fall einer rationalen Zahl aus dem Divisionsalgorithmus ablesbar ist. Die Folge
ist eine Dezimalbruchfolge, aber nicht die kanonische Dezimalbruchfolge zu , diese ist nämlich einfach die konstante Folge.
Verfahren
Es sei ein Element in einem archimedisch angeordneten Körper . Dann nennt man die über durch
mit und gegebene Folge
die (kanonische) Dezimalbruchfolge zu .
Die definierende Gleichung in diesem Verfahren kann man auch als von der Gleichung
herstammend interpretieren. Es ist also einfach
und
was zugleich zeigt, dass diese Folge existiert und eine Dezimalbruchfolge im Sinne der obigen Definition ist. Die Glieder dieser Folge approximieren die gegebene Zahl optimal unter allen Dezimalbrüchen mit dem vorgegebenen Nenner , wie die folgende Aussage zeigt.
Satz
Es sei ein Element in einem archimedisch angeordneten Körper und es sei , , die zugehörige (kanonische) Dezimalbruchfolge.
Dann ist
d.h. der -te Dezimalbruch der Folge approximiert die Zahl bis auf einen Fehler von maximal . Es liegt eine Dezimalbruchfolge im Sinne von Definition vor.
Beweis
In der Definition der Dezimalbruchfolge wird
mit und berechnet. Daher ist einerseits
und andererseits
Die Eigenschaft
ergibt sich auch unmittelbar.
Lemma
Es seien natürliche Zahlen mit positiv und es seien , , und , , die im Divisionsalgorithmus berechneten Folgen.
Dann ist
die Dezimalbruchfolge zu . Insbesondere ist für jedes
Beweis
Aus den definierenden Gleichungen des Divisionsalgorithmus ergibt sich sukzessive
und insgesamt
Division durch ergibt
Dies stimmt mit den Festlegungen aus dem Verfahren überein, in dem die Dezimalbruchfolge zu definiert wurde.