Es sei ein
angeordneter Körper.
Eine Folge der Form
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mit
und
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heißt
Dezimalbruchfolge.
Achtung! Eine Dezimalbruchfolge ist nicht das gleiche wie eine Folge von Dezimalbrüchen. Die Folge, die abwechselnd die Werte
und
besitzt, besteht auch nur aus Dezimalbrüchen. Hier ist wichtig, das bei einer Dezimalbruchfolge bei jedem Folgenglied sich die „Genauigkeit“ um ein erhöht, das folgende Glied liegt im Intervall
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der Länge , das vom Vorgänger festgelegt ist.
Wir werden zeigen, dass es für jedes Element in einem archimedisch angeordneten Körper eine zugehörige kanonische Dezimalbruchfolge gibt, und dass diese im Fall einer rationalen Zahl aus dem Divisionsalgorithmus ablesbar ist. Die Folge
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ist eine Dezimalbruchfolge, aber nicht die kanonische Dezimalbruchfolge zu , diese ist nämlich einfach die konstante Folge.
Die definierende Gleichung in diesem Verfahren kann man auch als von der Gleichung
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herstammend interpretieren. Es ist also einfach
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und
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was zugleich zeigt, dass diese Folge existiert und eine Dezimalbruchfolge im Sinne der obigen Definition ist. Die Glieder dieser Folge approximieren die gegebene Zahl optimal unter allen Dezimalbrüchen mit dem vorgegebenen Nenner , wie die folgende Aussage zeigt.
In der Definition der Dezimalbruchfolge wird
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mit
und
berechnet. Daher ist einerseits
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und andererseits
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Die Eigenschaft
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ergibt sich auch unmittelbar.
Aus den definierenden Gleichungen des Divisionsalgorithmus ergibt sich sukzessive
und insgesamt
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Division durch ergibt
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Dies stimmt mit den Festlegungen aus dem Verfahren überein, in dem die Dezimalbruchfolge zu definiert wurde.