Benutzer:Bocardodarapti/Arbeitsseite/Homologische Algebra

Definition

Ein Kettenkomplex (von kommutativen Gruppen) ist eine Folge ${}G_{n}$, ${}n\in \mathbb {Z}$, von kommutativen Gruppen zusammen mit einer Folge von Gruppenhomomorphismen

$d_{n}\colon G_{n+1}\longrightarrow G_{n}$

mit der Eigenschaft

${}d_{n-1}\circ d_{n}=0\,$

für alle ${}n\in \mathbb {Z}$.

Es geht also um ein Abbildungsdiagramm der Form

$\ldots \longrightarrow G_{n+2}{\stackrel {d_{n+1}}{\longrightarrow }}G_{n+1}{\stackrel {d_{n}}{\longrightarrow }}G_{n}{\stackrel {d_{n-1}}{\longrightarrow }}G_{n-1}{\stackrel {d_{n-2}}{\longrightarrow }}\ldots .$

Häufig ist ein Kettenkomplex nur für Indizes ${}n\in \mathbb {N}$ oder ${}n\in \mathbb {Z} _{-}$ oder nur für eine endliche Menge ${}\{0,1,\ldots ,k\}$ definiert. Für alle anderen Indizes sind die Gruppen ${}G_{n}$ als die Nullgruppe zu interpretieren.

Definition

Ein Kettenkomplex heißt exakt an der Stelle ${}n$, wenn

${}\operatorname {kern} d_{n-1}=\operatorname {bild} d_{n}\,$

gilt. Er heißt exakt, wenn er an jeder Stelle exakt ist.

Definition

Zu einem Kettenkomplex ${}G_{\bullet }$ nennt man

${}H_{n}=H_{n}(G_{\bullet }):=\operatorname {kern} d_{n-1}/\operatorname {bild} d_{n}\,$

die ${}n$-te Homologie des Komplexes.

Lemma

Es sei

$0\longrightarrow A\longrightarrow B\longrightarrow C$

ein exakter Komplex von ${}R$-Moduln über einem kommutativen Ring ${}R$. Es sei ${}M$ ein weiterer ${}R$-Modul.

Dann ist auch der Komplex

$0\longrightarrow \operatorname {Hom} {\left(M,A\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} {\left(M,B\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} {\left(M,C\right)}$

exakt.

Beweis

Die Abbildungen sind ${}R$-Modulhomomorphismen, zum Nachweis der Injektivität von

$\operatorname {Hom} {\left(M,A\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} {\left(M,B\right)}$

können wir also das Kernkriterium verwenden. Wenn aber ${}\varphi \colon M\rightarrow A$ nicht die Nullabbildung ist, so ist auch ${}M\rightarrow A\subseteq B$ nicht die Nullabblidung. Es sei nun ${}\psi \colon M\rightarrow B$ derart, dass die Verknüpfung ${}M\rightarrow B\rightarrow C$ die Nullabbildung ist. Dann landet ${}\psi$ im Kern der Abbildung von ${}B$ nach ${}C$, also in ${}A$, und daher rührt ${}\psi$ von einer Abbildung von ${}M$ nach ${}A$ her.

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