Die rationalen Zahlen/Konstruktion aus Z/Äquivalenzrelation/Ausführlich/Textabschnitt

Wir wollen ausgehend von der Menge der ganzen Zahlen ${}\mathbb {Z}$, die einen kommutativen Ring bildet, die Menge der rationalen Zahlen konstruieren. Wir gehen dabei ähnlich wie bei der Konstruktion der ganzen Zahlen aus den natürlichen Zahlen vor, indem wir auf einer „zu großen“ Menge eine Äquivalenzrelation einführen, sodass die Quotientenmenge ein Modell für die rationalen Zahlen ist.

Wir starten mit der Produktmenge

${}P=\mathbb {Z} \times \mathbb {N} _{+}={\left\{(a,b)\mid a\in \mathbb {Z} {\text{ und }}b\in \mathbb {N} _{+}\right\}}\,.$

Zur Orientierung sei schon jetzt gesagt, dass das Paar ${}(a,b)$ später den Bruch ${}a/b$ repräsentieren soll.

Man kann sich vorstellen, dass in ${}(a,b)$ die erste Zahl eine Anzahl an Kuchen und die zweite Zahl eine Anzahl an Personen bedeutet, oder die Anzahl der Frauen und die Anzahl der Männer auf einer Party, oder irgendein Paar, das einen proportionalen Zusammenhang repräsentiert.

Auf ${}P$ wollen wir eine Äquivalenzrelation definieren, wobei zwei Paare als äquivalent gelten sollen, wenn sie „den gleichen Bruch“ repräsentieren (den es noch nicht gibt). Wir definieren

$(a,b)\sim (c,d),{\text{ falls }}ad=bc{\text{ ist}}.$

Diese Relation wird also unter Bezug auf die Gleichheit in ${}\mathbb {Z}$ erklärt. Es handelt sich dabei um eine Äquivalenzrelation, wie man direkt nachrechnen kann, siehe Aufgabe. Insbesondere sind ${}(a,b)$ und ${}(ae,be)$ für ${}e\neq 0$ zueinander äquivalent.

Es ist hilfreich, sich diese Situation zu veranschaulichen, indem man die diskrete obere Halbebene ${}\mathbb {Z} \times \mathbb {N} _{+}\subset \mathbb {Z} \times \mathbb {N}$

betrachtet. Ein Paar ${}(a,b)$ ist dann ein Gitterpunkt, wobei wir uns die ganzen Zahlen ${}\mathbb {Z}$ als die Punkte

$(n,1),\,n\in \mathbb {Z} ,$

vorstellen. Die zugehörige durchgezogene „Zahlengerade“

(wo also die zweite Komponente konstant ${}1$ ist.) bezeichnen wir mit ${}G$. Ein jeder Punkt ${}(a,b)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {N} _{+}$ definiert eine eindeutige Gerade, die durch diesen Punkt und durch den Nullpunkt ${}(0,0)$ verläuft. In dieser geometrischen Interpretation sind zwei Punkte ${}(a,b)$ und ${}(c,d)$ genau dann äquivalent, wenn sie die gleiche Gerade definieren, und dies ist genau dann der Fall, wenn ihre „Steigungen“ übereinstimmen. Zwei Punkte liegen ja genau dann auf der gleichen Geraden, wenn sie, wenn man durch Streckung ihre zweite Koordinate zur Übereinstimmung bringt, dann auch die erste Koordinate übereinstimmt. Wenn man den ersten Punkt mit ${}d$ streckt (multipliziert) und den zweiten Punkt mit ${}b$, so erhält man die beiden Punkte ${}(da,db)$ und ${}(bc,bd)$, und die Gleichheit vorne war die Definition für die Relation. Die Äquivalenzklassen sind die „diskreten Geraden“ durch den Nullpunkt und einen weiteren Gitterpunkt.

Auch die Identifizierungsabbildung zu dieser Äquivalenzrelation kann man sich gut vorstellen. Der Schnittpunkt der durch einen Punkt ${}(a,b)$ und dem Nullpunkt definierten Geraden ${}H$ mit der Zahlengeraden ${}G$ ist ein Punkt, der dem Bruch ${}a/b$ entspricht (die Steigung der Geraden ${}H$ ist aber ${\frac {a}{b}}$).

Die Quotientenmenge unter dieser Äquivalenzrelation nennen wir ${}\mathbb {Q}$ und sprechen vom Äquivalenzklassenmodell für ${}\mathbb {Q}$. Für die Elemente in ${}\mathbb {Q}$ schreiben wir vorläufig noch ${}[(a,b)]$. Wir wollen nun auf ${}\mathbb {Q}$ eine Addition und eine Multiplikation definieren.

Lemma

Durch die Festlegung

${}[(a,b)]+[(c,d)]:=[(ad+bc,bd)]\,$

erhält man auf (dem Äquivalenzklassenmodell von) ${}\mathbb {Q}$ eine Verknüpfung, die kommutativ und assoziativ ist und die ${}[(0,1)]$ als neutrales Element besitzt. Darüber hinaus besitzt jedes Element ein inverses Element, und zwar sind ${}[(a,b)]$ und ${}[(-a,b)]$ invers zueinander.

Beweis

Zum Nachweis der Wohldefiniertheit seien ${}[(a,b)]=[(a',b')]$ und ${}[(c,d)]=[(c',d')]$, also ${}ab'=a'b$ und ${}cd'=c'd$. Dann ist

${}ab'dd'+bb'cd'=a'bdd'+bb'c'd\,$

und somit

${}[(ad+bc,bd)]=[(a'd'+b'c',b'd')]\,.$

Die Kommutativität und die Eigenschaft, dass ${}[(0,1)]$ das neutrale Element der Verknüpfung ist, folgen unmittelbar aus der Definition. Zum Beweis der Assoziativität seien ${}[(a,b)],[(c,d)],[(e,f)]$ gegeben. Es ist dann

${}{\begin{aligned}\ [(a,b)]+{\left([(c,d)]+[(e,f)]\right)}&=[(a,b)]+[(cf+de,df)]\\&=[(bcf+bde+adf,bdf)]\\&=[(ad+bc,bd)]+[(e,f)]\\&={\left([(a,b)]+[(c,d)]\right)}+[(e,f)].\end{aligned}}$

Ferner ist

${}[(a,b)]+[(-a,b)]=[ab-ab,b^{2}]=[(0,b^{2})]=[(0,1)]=0\,.$

$\Box$

Lemma

Durch die Festlegung

${}[(a,b)]\cdot [(c,d)]:=[(ac,bd)]\,$

erhält man auf (dem Äquivalenzklassenmodell von) ${}\mathbb {Q}$ eine Verknüpfung, die kommutativ und assoziativ ist und die ${}[(1,1)]$ als neutrales Element besitzt. Darüber hinaus besitzt jedes Element ${}\neq 0$ ein inverses Element, und zwar sind bei ${}a>0$ die Klassen ${}[(a,b)]$ und ${}[(b,a)]$ und bei ${}a<0$ die Klassen ${}[(a,b)]$ und ${}[(-b,-a)]$ invers zueinander.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Satz

Das Äquivalenzklassenmodell von ${}\mathbb {Q}$ ist mit der Addition

${}[(a,b)]+[(c,d)]:=[(ad+bc,bd)]\,,$

der Multiplikation

${}[(a,b)]\cdot [(c,d)]:=[(ac,bd)]\,,$

dem Nullelement ${}[(0,1)]$ und dem Einselement ${}[(1,1)]$

ein Körper.

Beweis

Dies folgt aus Fakt und aus Fakt, es ist somit lediglich noch das Distributivgesetz zu begründen. Dies ergibt sich aus

${}{\begin{aligned}\,[(a,b)]{\left([(c,d)]+[(e,f)]\right)}&=[(a,b)][(cf+de,df)]\\&=[(acf+ade,bdf)]\\&=[(acf,bdf)]+[(ade,bdf)]\\&=[(ac,bd)]+[(ae,bf)]\\&=[(a,b)][(c,d)]+[(a,b)][(e,f)].\end{aligned}}$

$\Box$

Lemma

Durch die Festlegung ${}[(a,b)]\geq [(c,d)]$, falls ${}ad\geq bc$,

erhält man auf (dem Äquivalenzklassenmodell von) ${}\mathbb {Q}$ eine totale Ordnung.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Satz

Das Äquivalenzklassenmodell von ${}\mathbb {Q}$ ist mit der Addition

${}[(a,b)]+[(c,d)]:=[(ad+bc,bd)]\,,$

der Multiplikation

${}[(a,b)]\cdot [(c,d)]:=[(ac,bd)]\,,$

dem Nullelement ${}[(0,1)]$, dem Einselement ${}[(1,1)]$ und der durch

${}[(a,b)]\geq [(c,d)]\,,$

falls

${}ad\geq bc\,,$

definierten Ordnung

ein angeordneter Körper.

Beweis

Dies folgt aus Fakt und Fakt, es bleibt nur noch die Verträglichkeit der Ordnung mit den Verknüpfungen zu zeigen. Sei

${}[(a,b)]\geq [(c,d)]\,,$

also ${}ad\geq bc$, und ${}[(e,f)]$ beliebig. Wegen ${}f>0$ ist dann auch ${}adf\geq bcf$ und somit

${}{\begin{aligned}\,[(a,b)]+[(e,f)]&=[(af+be,bf)]\\&=[(adf+bde,bdf)]\\&\geq [(bcf+bde,bdf)]\\&=[(cf+de,df)]\\&=[(c,d)]+[(e,f)].\end{aligned}}$

Wenn ${}[(a,b)]\geq 0$ und ${}[(c,d)]\geq 0$ ist, so sind ${}a,c$ positiv und dann ist auch ${}ac$ positiv, also

${}[(a,b)][(c,d)]=[ac,bd]\geq 0\,.$

$\Box$

Die ganzen Zahlen ${}\mathbb {Z}$ sind über die Zuordnung

$\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Q} ,\,n\longmapsto [(n,1)],$

in den rationalen Zahlen enthalten. Diese Zuordnung ist mit der Addition, der Multiplikation und der Ordnung verträglich, siehe Aufgabe. Für die Äquivalenzklasse ${}[(a,b)]$ schreibt man abkürzend ${}{\frac {a}{b}}$.