Differentialgeometrie/Hyperfläche/Umgebender Raum und Eigenschaften der Hyperfläche/Einführung/Textabschnitt

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Wir besprechen einige Objekte bzw. Konstruktionen, die zwar im umgebenden linearen Raum ${}\mathbb {R} ^{n}$ existieren, die aber mit der Hyperfläche ${}Y$ in einer derart intensiven Beziehung stehen, dass man sie ausschließlich als Objekte auf ${}Y$ erfassen und studieren möchte. Vorläufig benötigen sie den umgebenden Raum, da ihre Definitionen Bezug auf höherdimensionale Analysis nehmen, die im Moment nur für einen (linearen) Vektorraum zur Verfügung steht. Es wird ein wichtiges Ziel sein, diese Konzepte allein auf dem (nichtlinearen) geometrischen Objekt ${}Y$ zu entwickeln. Wir erwähnen Kurven auf Hyperflächen, Extrema mit Nebenbedingungen, Differentialgleichungen zu tangentialen Vektorfeldern.

Bemerkung  

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Es sei

$\gamma \colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

eine differenzierbare Kurve, die ganz in ${}Y$ verläuft, wobei ${}I$ ein offenes Intervall ist. Dann gehört zu jedem Zeitpunkt ${}t\in I$ die Ableitung ${}\gamma '(t)$ zum Tangentialraum an ${}Y$ im Punkt ${}\gamma (t)$. Dies beruht auf der Konstanz ${}h\circ \gamma =c$, woraus mit der Kettenregel

${}\left(Dh\circ \gamma \right)_{t}=\left(Dh\right)_{\gamma (t)}\circ \left(D\gamma \right)_{t}=\left(Dh\right)_{\gamma (t)}(\gamma '(t))=0\,,$

also ${}\gamma '(t)\in \operatorname {kern} \left(Dh\right)_{\gamma (t)}=T_{\gamma (t)}Y$ folgt. Mit Aufgabe ergibt sich ferner, dass jeder Tangentialvektor in ${}P$ an ${}Y$ sich durch eine differenzierbare Kurve auf ${}Y$ realisieren lässt. Der Tangentialraum lässt sich also durch differenzierbare Kurven allein auf ${}Y$ sinnvoll beschreiben, wobei die Differenzierbarkeit der Kurven den umgebenden Raum voraussetzt.

Bemerkung  

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Wir rekapitulieren den Satz über lokale Extrema mit Nebenbedingungen in dieser Situation, vergleiche Fakt (mit anderer Notation). Dabei gibt es neben der Funktion ${}h$, die ${}Y$ und damit de Nebenbedingung festlegt, eine weitere in einer offenen Umgebung ${}U$ von ${}Y$ definierte reellwertige Funktion ${}f$, und man interessiert sich für lokale Extrema von ${}f$, allerdings nicht auf ganz ${}U$, was man mit dem Gradienten und der Hesse-Matrix untersucht, sondern nur auf ${}Y$. Man möchte beispielsweise die maximale Temperatur auf der Oberfläche eines Körpers finden und dabei ignorieren, dass er im Innern wärmer ist. Der angeführte Satz besagt jedenfalls, dass, wenn ${}f$ stetig differenzierbar ist und ein lokales Extremum in einem Punkt ${}P\in Y$ unter der Nebenbedingung ${}Y$ besitzt, dass dann der Gradient ${}\operatorname {Grad} \,f(P)$ ein Vielfaches des Gradienten ${}\operatorname {Grad} \,h(P)$ ist. Dieses Differenzierbarkeitskriterium nimmt Bezug auf den umgebenden Raum, und zwar sowohl in die Sinn, dass die Differenzierbarkeit Bezug auf den umgebenden Raum nimmt, als auch in dem Sinn, dass die zu vergleichenden Gradienten in den umgebenden Raum hineinragen.

Satz

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Es sei ${}Y\subseteq U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und sei ${}F$ ein differenzierbares Vektorfeld auf ${}U$ mit der Eigenschaft, dass für jeden Punkt ${}P\in Y$ der Vektor ${}F(P)$ zum Tangentialraum an die Faser in ${}P$ an ${}Y$ gehört.

Dann verläuft die Lösung ${}v(t)$ zum Anfangswertproblem zu ${}F$ mit der Anfangsbedingung ${}v(t_{0})\in Y$ ganz in ${}Y$.

Beweis

Wir arbeiten mit der euklidischen Struktur auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$ und mit dem Gradienten ${}\operatorname {Grad} \,h$ zu ${}h$. Dieser ist nach Voraussetzung auf ${}Y$ nirgendwo gleich ${}0$ und dies überträgt sich wegen der Stetigkeit auf eine offene Umgebung von ${}Y$. Indem wir ${}U$ eventuell verkleinern, können wir annehmen, dass der Gradient auf ganz ${}U$ nullstellenfrei ist. Wir betrachten auf ${}U$ das neue Vektorfeld ${}G$, das durch

${}G(P)=F(P)-{\frac {\left\langle F(P),\operatorname {Grad} \,h(P)\right\rangle }{\Vert {\operatorname {Grad} \,h(P)}\Vert ^{2}}}\operatorname {Grad} \,h(P)\,$

gegeben ist. Für ${}P\in Y$ ist ${}G(P)=F(P)$, da ja auf ${}Y$ der Gradient zu ${}h$ senkrecht auf dem Vektorfeld steht. Ferner besitzt ${}G$ (im Unterschied zu ${}F$) die Eigenschaft, dass für alle Punkte ${}P\in U$ der Vektor ${}G(P)$ senkrecht zum Gradienten steht, es ist ja

${}{\begin{aligned}\left\langle G(P),\operatorname {Grad} \,h(P)\right\rangle &=\left\langle F(P)-{\frac {\left\langle F(P),\operatorname {Grad} \,h(P)\right\rangle }{\Vert {\operatorname {Grad} \,h(P)}\Vert ^{2}}}\operatorname {Grad} \,h(P),\operatorname {Grad} \,h(P)\right\rangle \\&=\left\langle F(P),\operatorname {Grad} \,h(P)\right\rangle -\left\langle F(P),\operatorname {Grad} \,h(P)\right\rangle \\&=0.\end{aligned}}$

Es sei nun

$v\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

die nach Fakt eindeutige Lösung zum Anfangswertproblem zu ${}G$ mit der Anfangsbedingung ${}v(t_{0})=P\in Y$. Dann ist

${}{\begin{aligned}\left(Dh\circ v\right)_{t}&=\left(Dh\right)_{v(t)}\circ \left(Dv\right)_{t}\\&=\left(Dh\right)_{v(t)}{\left(v'(t)\right)}\\&=\left(Dh\right)_{v(t)}{\left(G(v(t))\right)}\\&=\left\langle \operatorname {Grad} \,h(v(t)),G(v(t))\right\rangle \\&=0.\end{aligned}}$

Daher ist ${}h$ auf dem Bild ${}v(I)$ konstant und wegen ${}h(v(t_{0}))=c$ ist ${}h(v(t))=c$ für alle ${}t\in I$, also ${}v(t)\in Y$ für alle ${}t\in I$.

$\Box$

Einen anderen Beweis für diese Aussage erhält man, wenn man das Vektorfeld ${}F$ über einen Homöomorphismus zwischen ${}P\in V\subseteq Y$ und ${}V'\subseteq \mathbb {R} ^{n-1}$ nach ${}\mathbb {R} ^{n-1}$ transportiert, dort die Existenz der Lösung nachweist und die Lösung nach ${}Y$ wieder zurück transportiert und diese stückweisen Lösungen zusammenklebt.

Die offene Umgebung ${}U$ von ${}Y$ wird benötigt, um von einem differenzierbaren Vektorfeld zu sprechen, wobei aber letztlich nur das Vektorfeld auf ${}Y$ relevant ist.