Differentialoperatoren/Gruppenoperation/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}S$ eine kommutative ${}K$-Algebra und ${}G$ eine Gruppe, die auf ${}S$ als Gruppe von ${}K$-Algebrahomomorphismen operiere. Ein Differentialoperator ${}E\colon S\rightarrow S$ heißt ${}G$-invariant, wenn

${}\varphi \circ E\circ \varphi ^{-1}=E\,$

für jedes ${}\varphi \in G$ gilt.

Zur Multiplikation mit ${}f\in S$ und einem Gruppenelement ${}\varphi$ ist

${}\varphi \circ \mu _{f}\circ \varphi ^{-1}=\mu _{\varphi (f)}\,,$

wegen

${}{\left(\varphi \circ \mu _{f}\circ \varphi ^{-1}\right)}(g)=\varphi (f\cdot \varphi ^{-1}(g))=\varphi (f)\cdot \varphi {\left(\varphi ^{-1}(g)\right)}=\varphi (f)\cdot g\,.$

Die Multiplikation mit einem Element ist also genau dann invariant als Operator, wenn das Element selbst invariant unter der Gruppenoperation ist.

Lemma

Es sei ${}S$ eine kommutative ${}K$-Algebra und ${}G$ eine Gruppe, die auf ${}S$ als Gruppe von ${}K$-Algebrahomomorphismen operiere.

Ein ${}G$-invarianter Differentialoperator ${}E\colon S\rightarrow S$ induziert durch einschränken einen Differentialoperator auf dem Invariantenring ${}R=S^{G}$.

Beweis

Sei ${}E\colon S\rightarrow S$ ein invarianter Differentialoperator. Wir müssen zunächst zeigen, dass das Bild unter ${}E$ des Unterringes ${}R$ wieder in ${}R$ liegt. Es sei hierzu ${}r\in R$. Wegen der Invarianz des Operators und der Invarianz des Elementes ist

${}E(r)={\left(\varphi \circ E\circ \varphi ^{-1}\right)}(r)={\left(\varphi \circ E\right)}{\left(\varphi ^{-1}(r)\right)}=\varphi (E(r))\,$

für alle ${}\varphi \in G$. Daher ist ${}E(r)$ invariant. Die ${}K$-Linearität ist klar. Dass es sich um einen Differentialoperator handelt, ergibt sich durch Induktion über die Ordnung des Operators, wobei man direkt die induktive Definition des Operators im Oberring verwendet.

$\Box$

Für die Moduln der Haupteile ergibt sich folgende Interpretation für die invarianten Differentialoperatoren. Die Gruppe ${}G$ operiert auch auf ${}P_{S{|}K}^{n}$ über das kommutative Diagramm

${\begin{matrix}S&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&S&\\\!\!\!\!\!d^{n}\downarrow &&\downarrow d^{n}\!\!\!\!\!&\\P_{S{|}K}^{n}&{\stackrel {\bar {\varphi }}{\longrightarrow }}&P_{S{|}K}^{n}&\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$

aus dem zugleich die Verträglichkeit der Operation hervorgeht.

Lemma

Es sei ${}S$ eine kommutative ${}K$-Algebra und ${}G$ eine Gruppe, die auf ${}S$ als Gruppe von ${}K$-Algebrahomomorphismen operiere. Für einen Differentialoperator ${}E\colon S\rightarrow S$ sind folgende Aussagen äquivalent.

1. Der Operator ${}E$ ist ${}G$-invariant.
2. Die zugehörige Linearform

   ${\bar {E}}\colon P_{S{|}K}^{n}\longrightarrow S$

   erfüllt die Eigenschaft

   ${}{\bar {E}}=\varphi \circ {\bar {E}}\circ {\bar {\varphi }}^{-1}\,$

   für alle ${}\varphi \in G$.

3. Die zugehörige Linearform

   ${\bar {E}}\colon P_{S{|}K}^{n}\longrightarrow S$

   bildet den Fixmodul ${}{\left(P_{S{|}K}^{n}\right)}^{G}$ auf den Fixring ${}S^{G}$ ab.

Beweis

Die erste Äquivalenz beruht dadrauf, dass die letzte Gleichheit zur Identität

${}{\bar {E}}\circ d^{n}=\varphi \circ {\bar {E}}\circ {\bar {\varphi }}^{-1}\circ d^{n}\,$

äquivalent ist, und diese wiederum wegen

${}\varphi \circ {\bar {E}}\circ {\bar {\varphi }}^{-1}\circ d^{n}=\varphi \circ {\bar {E}}\circ d^{n}\circ {\varphi }^{-1}\,$

zu

${}E=\varphi \circ E\circ {\varphi }^{-1}\,$

äquivalent ist.

Es sei nun (2) erfüllt und ${}u\in {\left(P_{S{|}K}^{n}\right)}^{G}$. Dann ist

${}\varphi ({\overline {E}}(u))=\varphi ({\overline {E}}({\overline {\varphi }}^{-1}(u)))={\overline {E}}(u)\,,$

also ist ${}E(u)$ invariant.

Wir argumentieren im Fall von Integritätsbereichen von endlichen Typ über dem Quotientenkörper und setzen ${}E$ als

${}E=\sum f_{\nu }\partial ^{\nu }\,$

an, wobei die Variablenmenge zu ${}K$ gehöre. Die Voraussetzung bedeutet, dass ${}K$ nach ${}K$ abgebildet wird, und es ist ${}f_{\nu }\in K$ zu zeigen. Nehmen wir an, dies sei nicht der Fall. Dann können wir die Teilsumme der Summanden, bei denen die Koeffizientenfunktionen zu ${}K$ gehören, abziehen und erhalten einen Operator, bei dem keine Koeffizientenfunktion zu ${}K$ gehört. Es sei ${}\nu$ ein minimales Tupel. Dann ist

${}E(x^{\nu })=\nu !f_{\nu }\,,$

da ja für alle anderen beteiligten Monome ${}\partial ^{\mu }(x^{\nu })=0$ gilt, und ${}K$ wird nicht nach ${}K$ abgebildet.

$\Box$

Zu einem Differentialoperator ${}E$ auf ${}S$ gehört der invariante Differentialoperator ${}\sum _{\varphi \in G}\varphi \circ E\circ \varphi ^{-1}$.

Lemma

Es sei ${}S$ eine kommutative ${}K$-Algebra und ${}G$ eine Gruppe, die auf ${}S$ als Gruppe von ${}K$-Algebrahomomorphismen operiere. Die Gruppenordnung sei teilerfremd zur Charakteristik. Es sei ${}E$ ein Differentialoperator auf ${}S$ und sei

${}E'=\rho \circ E\circ \iota \,$

die Einschränkung auf den Invariantenring ${}R$ im Sinne von Fakt.

Dann ist

${}E'={\frac {1}{n}}\sum _{\varphi \in G}\varphi \circ E\circ \varphi ^{-1}\,,$

wobei der invariante Differentialoperator ${}{\frac {1}{n}}\sum _{\varphi \in G}\varphi \circ E\circ \varphi ^{-1}$ auf ${}R$ aufgefasst wird.

Beweis

Es sei ${}h\in R$. Dann ist einerseits

${}{\begin{aligned}E'(h)&=(\rho \circ E\circ \iota )(h)\\&=\rho (E(h))\\&={\frac {1}{\operatorname {ord} {\left(G\right)}}}\sum _{\varphi \in G}\varphi (E(h))\end{aligned}}$

und andererseits ebenso

${}{\begin{aligned}{\frac {1}{\operatorname {ord} {\left(G\right)}}}{\left(\sum _{\varphi \in G}\varphi \circ E\circ \varphi ^{-1}\right)}(h)&={\frac {1}{\operatorname {ord} {\left(G\right)}}}\sum _{\varphi \in G}\varphi (E(\varphi ^{-1}(h)))\\&={\frac {1}{\operatorname {ord} {\left(G\right)}}}\sum _{\varphi \in G}\varphi (E(h))\end{aligned}}$

wegen der Invarianz von ${}h$.

$\Box$

Eine Semiinvariante zum Charakter ${}\chi$ wird unter einem invarianten Operator auf eine ebensolche Semiinvariante abgebildet. Es ist nämlich

${}\varphi {\left({\frac {E(f)}{f}}\right)}={\frac {\varphi (E(f))}{\varphi (f)}}={\frac {E(\varphi (f))}{\varphi (f)}}={\frac {E(\chi (f)\cdot f)}{\chi (f)\cdot f}}={\frac {\chi (f)\cdot E(f)}{\chi (f)\cdot f}}={\frac {E(f)}{f}}\,.$

Daher ist der Quotient invariant.

Beispiel

Wir betrachten die Operationen der Gruppe der ${}n$-ten Einheitswurzeln auf ${}K[Y]$, wobei ${}\zeta$ durch ${}\varphi _{\zeta }:Y\mapsto \zeta Y$ wirkt. Der invariantenring ist ${}K[Y^{n}]\cong K[X]$. Der Operator ${}\partial _{Y}$ ist nicht invariant, da

${}(\varphi _{\zeta ^{-1}}\circ \partial _{Y}\circ \varphi _{\zeta })(Y)=(\varphi _{\zeta ^{-1}}\circ \partial _{Y})(\zeta Y)=(\varphi _{\zeta ^{-1}})(\zeta )=\zeta \,,$

da ja die Automorphismen auf ${}K$ identisch wirken. Entsprechend ist für ${}\ell \geq 2$

${}{\begin{aligned}(\varphi _{\zeta ^{-1}}\circ \partial _{Y}\circ \varphi _{\zeta })(Y^{\ell })&=(\varphi _{\zeta ^{-1}}\circ \partial _{Y})(\zeta ^{\ell }Y^{\ell })\\&=(\varphi _{\zeta ^{-1}})(\ell \zeta ^{\ell }Y^{\ell -1})\\&=\ell \zeta ^{-\ell +1}\zeta ^{\ell }Y^{\ell -1}\\&=\ell \zeta Y^{\ell -1}.\end{aligned}}$

Es ist also

${}\varphi _{\zeta ^{-1}}\circ \partial _{Y}\circ \varphi _{\zeta }=\zeta \partial _{Y}\,.$

Der invariant gemachte Operator wirkt

${}(\sum _{\zeta }\varphi _{\zeta ^{-1}}\circ \partial _{Y}\circ \varphi _{\zeta })(Y^{\ell })=\ell {\left(\sum _{\zeta }\zeta \right)}Y^{\ell -1}=0\,.$

Der Operator ${}\partial _{Y}^{n}$ ist dagegen invariant, da für ${}\ell \geq n$

${}{\begin{aligned}(\varphi _{\zeta ^{-1}}\circ \partial _{Y}^{n}\circ \varphi _{\zeta })(Y^{\ell })&=(\varphi _{\zeta ^{-1}}\circ \partial _{Y}^{n})(\zeta ^{\ell }Y^{\ell })\\&=(\varphi _{\zeta ^{-1}})(\ell \cdots (\ell -n+1)\zeta ^{\ell }Y^{\ell -n})\\&=\ell \cdots (\ell -n+1)\zeta ^{-\ell +n}\zeta ^{\ell }Y^{\ell -n}\\&=\ell \cdots (\ell -n+1)\zeta ^{n}Y^{\ell -n}\\&=\ell \cdots (\ell -n+1)Y^{\ell -n}.\end{aligned}}$

Lemma

Es sei ${}S$ eine kommutative ${}K$-Algebra und ${}G$ eine Gruppe, die auf ${}S$ als Gruppe von ${}K$-Algebrahomomorphismen operiere. Die Gruppenordnung sei teilerfremd zur Charakteristik. Es sei ${}E$ ein ${}G$-invarianter Operator auf ${}S$ und sei ${}h\in S$.

Dann ist

${}{\left(hE\right)}^{\rm {inv}}=\rho (h)E\,.$

Beweis

Für ${}f\in S$ ist

${}{\begin{aligned}{\left(hE\right)}^{\rm {inv}}(f)&=\sum _{\varphi \in G}{\left(\varphi \circ \mu _{h}\circ E\circ \varphi ^{-1}\right)}(f)\\&=\sum _{\varphi \in G}{\left(\varphi \circ \mu _{h}\circ \varphi ^{-1}\circ E\right)}(f)\\&=\sum _{\varphi \in G}\varphi (h\cdot \varphi ^{-1}(E(f)))\\&=\sum _{\varphi \in G}\varphi (h)(E(f))\\&=\rho (h)E(f).\end{aligned}}$

$\Box$