Differentielle Signatur/Vortrag

Differentialoperatoren auf dem Polynomring

Kann man konstante Funktionen integrieren?

Auf dem Polynomring?

Singularität.

Die neuen Ergebnisse zu den Differentialoperatoren und wie man damit eine Singularität erfassen kann beruhen auf einer gemeinsamen Arbeit mit Jack Jeffries und Luis Nuñez-Betancourt.

Zu einem Monom ${}X^{\beta }$ ist

${}\partial ^{\alpha }{\left(X^{\beta }\right)}={\frac {\beta !}{(\beta -\alpha )!}}X^{\beta -\alpha }\,$

wobei zu einem Tupel ${}\gamma$ die Fakultät als

${}\gamma !=\gamma _{1}!\cdots \gamma _{n}!\,$

definiert wird und wobei dieser Ausdruck als ${}0$ zu verstehen ist, wenn ${}\beta -\alpha$ in einer Komponente negativ ist. Die Operatoren ${}{\frac {\partial ^{\alpha }}{\alpha !}}$ bilden ${}X^{\alpha }$ auf ${}1$ ab und sind auch in positiver Charakteristik definiert, allerdings nicht als Hintereinanderschaltung von Derivationen.

Wir nennen einen Differentialoperator ${}E$ unitär, wenn es ein Polynom ${}f$ mit

${}E(f)=u\,$

gibt, wobei ${}u$ eine Einheit ist, wenn also die partielle Differentialgleichung ${}E(-)=u$ eine Lösung besitzt. Durch Übergang zu ${}u^{-1}E$ kann man dann die rechte Seite als ${}1$ ansetzen. Wegen der Existenz der Operatoren ${}{\frac {\partial ^{\alpha }}{\alpha !}}$ gibt es in einem Polynomring viele unitäre Operatoren. Ein Operator wie ${}X\partial _{X}$ ist nicht unitär.

Differentialoperatoren auf singulären Räumen

Im Weiteren soll es um Differentialoperatoren gehen, die nicht auf (Funktionen auf) dem glatten Raum ${}K^{n}$ wirken, sondern auf Räumen mit Singularitäten. Als ein typisches Beispiel kann man einen Doppelkegel betrachten, den man als die Nullstellenmenge des Polynoms ${}Z^{2}-X^{2}-Y^{2}$ betrachten kann.

Achtung: Die partiellen Ableitungen ${}\partial _{X},\partial _{Y},\partial _{Z}$ des umgebenden Raumes ${}K^{3}$ ergeben keinen Sinn auf ${}S$. Das Polynom ${}Z^{2}-X^{2}-Y^{2}$ ist ja die Nullfunktion auf ${}S$ (${}S$ wurde ja als die Nullstellenmenge dieses Polynoms definiert), es ist aber

${}\partial _{X}{\left(Z^{2}-X^{2}-Y^{2}\right)}=-2X\neq 0\,$

auf ${}S$.

Definition

Es sei ${}R$ eine kommutative ${}K$-Algebra. Das Konzept eines Differentialoperators wird induktiv definiert, wobei es sich um spezielle ${}K$-lineare Abbildungen von ${}R$ nach ${}R$ handelt.

1. Ein Differentialoperator der Ordnung ${}0$ ist die Multiplikationsabbildung

   $\mu _{f}\colon R\longrightarrow R,\,x\longmapsto xf,$

   zu einem Element ${}f\in R$.

2. Ein Differentialoperator ${}E$ der Ordnung ${}\leq n$ ist eine lineare Abbildung ${}E\colon R\rightarrow R$ mit der Eigenschaft, dass für jedes ${}f\in R$ die Abbildung

   $E\circ \mu _{f}-\mu _{f}\circ E$

   ein Differentialoperator der Ordnung ${}\leq n-1$ ist.

Wie oben erwähnt induziert ein Differentialoperator auf einem Ring im Allgemeinen keinen Differentialoperator auf einem Restklassenring. Allerdings kann man einfach charakterisieren, welche Differentialoperatoren dies erfüllen. Man beachte, dass es für Derivationen genügt, die Idealbedingung für Idealerzeuger zu überprüfen, dies gilt aber nicht für beliebige Differentialoperatoren.

Lemma

Es sei ${}P$ eine kommutative ${}K$-Algebra und ${}{\mathfrak {a}}\subseteq P$ ein Ideal mit Restklassenring ${}R=P/{\mathfrak {a}}$

Dann induziert ein Differentialoperator ${}D\colon P\rightarrow P$ der Ordnung ${}\leq n$ einen Differentialoperator auf ${}R$ der Ordnung ${}\leq n$, wenn

${}D({\mathfrak {a}})\subseteq {\mathfrak {a}}\,$

ist.

Direkte Summanden

Wir wollen Ringe über die Eigenschaft erfassen, ob es in ihnen „viele“ (in einem asymptotischen Sinn) unitäre Differentialoperatoren gibt. Die naheliegende, zur starken ${}F$-Regularität analoge Eigenschaft in einem Integritätsbereich ist, dass es zu jedem von ${}0$ verschiedenen Element einen Differentialoperator ${}E$ mit

${}E(f)=1\,$

gibt. Solche Operatoren nennen wir unitär. Im folgenden zeigen wir zunächst, dass sich diese Eigenschaften auf direkte Summanden überträgt. Diese Beobachtungen können für auf Invariantenringe und auf normale Monoidringe anwenden.

Lemma

Es sei ${}R\subseteq S=R\oplus U$ ein direkter Summand von ${}K$-Algebren.

Dann definiert jeder Differentialoperator ${}E\colon S\rightarrow S$ der Ordnung ${}\leq n$ über

$R\longrightarrow S{\stackrel {E}{\longrightarrow }}S{\stackrel {\rho }{\longrightarrow }}R$

einen Differentialoperator der Ordnung ${}\leq n$ auf ${}R$, wobei ${}\rho$ die Projektion längs ${}U$ bezeichnet.

Korollar

Es sei ${}R$ ein direkter Summand eines Polynomrings ${}P$.

Dann gibt es für jedes ${}f\in R$, ${}f\neq 0$, einen Differentialoperator ${}E\colon R\rightarrow R$ mit ${}E(f)=1$.

Als ein konkreteres Beispiel betrachten wir (torische) Monoidringe, wo wir die (unitären) Differentialoperatoren explizit beschreiben können.

Monoidringe

Es sei ein normales torisches positives Monoid in der Form

${}M=C\cap \Gamma \,$

mit einem positiven rationalen polyedrischen Kegel und dem Gitter (das Differenzengitter zu ${}M$) ${}\Gamma =\mathbb {Z} M$ gegeben. Es sei ${}d$ die Dimension von ${}\Gamma$ und seien ${}F_{1},\ldots ,F_{r}$ die Facetten von ${}C$. Zu jeder Facette ${}F_{i}$ gibt es eine integrale Linearform

$\ell _{i}\colon \Gamma \longrightarrow \mathbb {Z} ,$

deren Kern ${}F_{i}$ enthält, die im Innern des Kegels positiv ist und die surjektiv ist. Diese Daten, die durch den Kegel festgelegt sind, geben Anlass zu zwei charakteristischen Polytopen bzw. deren Volumina. Zum einen wird durch

${}\ell _{i}=1\,$

eine zur Facette ${}F_{i}$ parallele Hyperebene festgelegt. Die Facettenhyperebenen und diese parallelen Hyperebenen begrenzen ein (kompaktes) Polytop, das wir das ${}F$-Polytop nennen. Dessen Volumen nennen wir die (kombinatorische) ${}F$-Signatur des Kegels.

Zum andern wird durch

${}\ell _{1}+\cdots +\ell _{r}=1\,$

eine Hyperebene festgelegt. Die Facettenhyperebenen und diese Hyperebenen begrenzen wieder ein (kompaktes) Polytop. Das ${}d!$-fache dessen Volumen nennen wir die ${}D$-Signatur des Kegels. Es ist nicht unmittelbar klar, ob man diese Zahl ebenfalls als Invariante der zugehörigen Monoide bzw. Monoidringe beschreiben kann und was ihre ringtheoretische Signifikanz ist.

Beispiel

Wir betrachten den rational-polyedrischen Kegel, der im ${}\mathbb {R} ^{3}$ durch ein Quadrat in der ${}1$-Ebene erzeugt wird, nämlich durch die vier Eckpunkte

$(0,0,1),\,(1,0,1),\,(0,1,1),\,(1,1,1).$

Diese vier Eckpunkte erzeugen das Monoid im zugehörigen Kegel. Die Summe des ersten und des vierten Erzeugers stimmt mit der Summe des zweiten und des dritten Erzeugers überein, daher ist der zugehörige Monoidring durch

${}K[M]\cong K[X,Y,Z,W]/(XY-ZW)\,$

gegeben. Der Kegel wird durch vier Seiten begrenzt und ist nicht simplizial. Die definierenden integralen Linearformen sind

${}\ell _{1}=x\,,$

${}\ell _{2}=y\,,$

${}\ell _{3}=z-x\,,$

${}\ell _{4}=z-y\,.$

Das „ ${}F$-Signatur-Polytop“, das durch die Bedingungen ${}0\leq \ell _{j}\leq 1$, ${}1\leq j\leq 4$, gegeben ist, ist eine Doppelpyramide mit dem Quadrat als Grundfläche und der (Einzel)-Höhe, ihr Volumen (also die kombinatorische ${}F$-Signatur) ist daher

${}2\cdot {\frac {1}{3}}={\frac {2}{3}}\,.$

Die Summe der vier Linearformen ist

${}\ell _{1}+\ell _{2}+\ell _{3}+\ell _{4}=2z\,.$

Somit wird das „ ${}D$-Signatur-Polytop“ durch

${}z={\frac {1}{2}}\,$

begrenzt, und sein Volumen ist

${}{\left({\frac {1}{2}}\right)}^{2}\cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{3}}={\frac {1}{24}}\,.$

Die kombinatorische ${}D$-Signatur ist also

${}3!\cdot {\frac {1}{24}}={\frac {1}{4}}\,.$

Differentialoperatoren auf Monoidringen

Wir fragen uns, ob es eine ringtheoretische Interpretation für diese Signatur gibt. Dazu müssen wir die (unitären) Differentialoperatoren auf den Monoidringen verstehen. Dafür ist es hilfreiche, diese als ein direkter Summand eines Polynomringes aufzufassen. Zur Orientierung erwähnen wir für das Monoid ${}\mathbb {N} ^{n}$ bzw. den Monoidring

${}K[\mathbb {N} ^{n}]=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,$

folgende Beobachtung. Wegen

${}{\frac {\partial ^{\alpha }}{\alpha !}}{\left(X^{\beta }\right)}={\frac {\beta !}{\alpha !(\beta -\alpha )!}}X^{\beta -\alpha }\,$

ist die Wirkungsweise der Operatoren ${}{\frac {\partial ^{\alpha }}{\alpha !}}$ auf einem Tupel ${}\beta$ im Wesentlichen einfach die Verschiebung in Richtung ${}-\alpha$, wobei das Ergebnis als ${}0$ zu interpretieren ist, falls man außerhalb von ${}\mathbb {N} ^{n}$ landet. D.h. dass abgesehen von den Vorfaktoren die Differentialoperatoren ${}{\frac {\partial ^{\alpha }}{\alpha !}}$, die ja die Basiselemente für alle Differentialoperatoren sind, eine unmittelbare kombinatorische Beschreibung besitzen.

Ein normales torisches positives Monoid besitzt die Form

${}M=C\cap \Gamma \,$

mit einem positiven rationalen polyedrischen Kegel und dem Gitter ${}\Gamma =\mathbb {Z} M$. Es sei ${}d$ die Dimension von ${}\Gamma$ und seien ${}F_{1},\ldots ,F_{r}$ die Facetten von ${}C$. Zu jeder Facette ${}F_{i}$ gibt es eine integrale Linearform

$\ell _{i}\colon \Gamma \longrightarrow \mathbb {Z} ,$

deren Kern ${}F_{i}$ enthält, die im Innern des Kegels positiv ist und die surjektiv ist. Diese Linearformen liefern auf dem Monoidring ${}K[M]$ die Bewertungen, die zu den torischen Primidealen der Höhe ${}1$, die den Facetten entsprechen, gehören. Diese Linearformen definieren zusammengenommen einen injektiven Monoidhomomorphismus

$\ell \colon M\longrightarrow \mathbb {N} ^{r},\,m\longmapsto {\left(\ell _{1}(m),\ldots ,\ell _{r}(m)\right)},$

die wiederum einen injektiven Ringhomomorphismus

$\ell \colon K[M]\longrightarrow K[\mathbb {N} ^{r}]=K[X_{1},\ldots ,X_{r}]$

ergibt. Dieser ist ein direkter Summand, und zwar ist ${}K[M]$ der Ring der nullten Stufe des Polynomrings unter der Graduierung, die zu ${}D:=\mathbb {Z} ^{r}/\Gamma$ gehört (${}D$ ist die Divisorenklassengruppe des Monoidringes). Man hat also insbesondere eine Zerlegung

${}K[X_{1},\ldots ,X_{r}]=\bigoplus _{d\in D}K[X_{1},\ldots ,X_{r}]_{d}\,$

mit

${}K[X_{1},\ldots ,X_{r}]_{0}=K[M]\,.$

Die Projektion auf die ${}0$-te Komponente nennen wir ${}\pi$.

Über die Abbildung ${}\ell$ erhält man gemäß Fakt aus den zusammengesetzten partiellen Ableitungen ${}\partial ^{\mu }$ (bzw. ${\frac {\partial ^{\mu }}{\mu !}}$) auf dem Polynomring Differentialoperatoren auf ${}K[M]$. Insbesondere erhält man für jedes Monom ${}\nu \in M$ einen „zugehörigen“ kanonischen Differentialoperator ${}E_{\nu }$ durch

${}E_{\nu }:=\pi \circ {\frac {\partial ^{\ell (\nu )}}{\ell (\nu )!}}\circ \ell \,.$

Die Wirkungsweise von ${}E_{\nu }$ ist (zu $\lambda \in M$, man könnte auch ${}T^{\lambda }$ schreiben)

${}E_{\nu }(\lambda )={\begin{cases}{\frac {\ell (\lambda )!}{\ell (\lambda -\nu )!\ell (\nu )!}}(\lambda -\nu ){\text{ falls }}\lambda -\nu \in M\,,\\0{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}\,$

Dies beruht auf

${}{\begin{aligned}E_{\nu }(\lambda )&=\pi {\left({\frac {\partial ^{\ell (\nu )}}{\ell (\nu )!}}{\left(X^{\ell (\lambda )}\right)}\right)}\\&={\begin{cases}\pi {\left({\frac {\ell (\lambda )!}{\ell (\lambda -\nu )!\ell (\nu )!}}X^{\ell (\lambda -\nu )}\right)}\\0\end{cases}}\\&={\begin{cases}{\frac {\ell (\lambda )!}{\ell (\lambda -\nu )!\ell (\nu )!}}{(\lambda -\nu )}\\0\,,\end{cases}}\end{aligned}}$

wobei die erste Alternative genau dann gilt, wenn ${}\ell (\lambda )\geq \ell (\nu )$ in jeder Komponente gilt, was zu ${}\lambda -\nu \in M$ äquivalent ist. Für normale torische Monoide gibt es also „kombinatorische Operatoren“ wie im Fall ${}\mathbb {N} ^{n}$. Diese verschieben im Wesentlichen (es kommen eben noch die Vorfaktoren hinzu) die Monome in eine bestimmte Richtung (nämlich die negative Richtung zu einem Monom des Monoids) und das Ergebnis ist als ${}0$ zu interpretieren, wenn das Verschiebungsergebnis außerhalb des Monoids liegt. Die Ordnung des Differentialoperators ${}E_{\nu }$ ist ${}\vert {\ell (\nu )}\vert$. Es ist

${}E_{\nu }(\nu )=1\,.$

Insbesondere gibt es also zu jedem Monom in ${}K[M]$ einen unitären Operator, der dieses Monom auf ${}1$ abbildet. Dies überträgt sich (in Charakteristik ${}0$ unmittelbar) auf beliebige Elemente ${}\neq 0$ eines torischen Monoidringes. Allerdings ist, im Gegensatz zum Polynomring, die Ordnung der zu einem Monom gehörigen unitären Differentialoperatoren komplizierter, nämlich über ${}\ell$, zu bestimmen. Durch ${}\vert {\ell }\vert$ ist eine natürliche positive ${}\mathbb {N}$-Graduierung auf einem Monoidring gegeben.

Es wird sich später herausstellen, dass die ${}D$-Signatur (bzw. ihr Kehrwert) ein quantitatives Maß dafür ist, wie sich die Ordnungen der unitären Differentialoperatoren zu den ${}M_{+}$-Ordnungen von Monomen verhalten. Die ${}M_{+}$-Ordnung eines Monoms ${}\nu$ ist das maximale ${}k$ mit

${}\nu \in kM_{+}={\left\{\gamma _{1}+\cdots +\gamma _{k}\mid \gamma _{i}\in M_{+}\right\}}\,.$

Der Modul der Hauptteile

Jede Derivation ${}E\colon R\rightarrow R$ faktorisiert mittels einer Linearform durch den Modul der Kählerdifferentiale ${}\Omega _{R{|}K}$. Eine entsprechende Konstruktion gibt es für beliebige Differentialoperatoren.

Definition

Es sei ${}R$ eine kommutative ${}K$-Algebra und ${}n\in \mathbb {N}$. Es sei ${}\Delta \subseteq R\otimes _{K}R$ der Kern der Multiplikationsabbildung. Dann nennt man den ${}R$-Modul

${}P_{R{|}K}^{n}:=R\otimes _{K}R/\Delta ^{n+1}\,,$

versehen mit der ${}R$-Multiplikation in der ersten Komponente, den ${}n$-ten Modul der Hauptteile.

Die ${}R$-Modulstruktur ist durch die Multiplikation in der ersten Komponenten gegeben. Wenn ${}R$ von endlichem Typ it, so ist der Modul der Hauptteile endlich erzeugt.

Definition

Es sei ${}R$ eine kommutative ${}K$-Algebra und ${}n\in \mathbb {N}$. Dann nennt man die ${}K$-lineare Abbildung

$d^{n}\colon R\longrightarrow P_{R{|}K}^{n}=R\otimes _{K}R/\Delta ^{n+1},\,f\longmapsto 1\otimes f,$

den universellen Differentialoperator der Ordnung ${}n$.

Lemma

Es sei ${}R$ eine lokale kommutative ${}K$-Algebra und ${}n\in \mathbb {N}$.

Ein ${}K$-Differentialoperator ${}E$ der Ordnung ${}\leq n$ ist genau dann unitär, wenn die zugehörige ${}R$-Linearform

${\tilde {E}}\colon P_{R{|}K}^{n}\longrightarrow R$

surjektiv ist.

Beweis

Da ${}{\tilde {E}}$ ein Modulhomomorphismus ist, ist das Bild davon ein ${}R$-Untermodul von ${}R$, also ein Ideal. Wenn ${}E$ unitär ist, gehört eine Einheit zum Bild von ${}E$ und somit ist das Bild von ${}{\tilde {E}}$ das Einheitsideal. Wenn ${}E$ nicht unitär ist, so liegt das Bild von ${}{\tilde {E}}$ innerhalb von ${}{\mathfrak {m}}$, da das Bild von ${}R$ in ${}P_{R{|}K}^{n}$ ein ${}R$-Erzeugendensystem von ${}P_{R{|}K}^{n}$ ist.

$\Box$

Ein unitärer Operator der Ordnung ${}\leq n$ ist also einfach ein freier Summand vom Rang ${}1$ von ${}P_{R{|}K}^{n}$. Bei einer Zerlegung

${}P_{R{|}K}^{n}=R^{a}\oplus M\,$

liegt eine unabhängige Familie von ${}a$ unitären Differentialoperatoren vor. In der folgenden Definition wird somit die Größe von solchen Familien gemessen.

Definition

Es sei ${}R$ eine lokale ${}K$-Algebra, die im Wesentlichen von endlichem Typ sei. Dann nenn man

$\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {\operatorname {fr} \,P_{R{|}K}^{n}}{\operatorname {rang} \,P_{R{|}K}^{n}}}$

die differentielle Signatur von ${}R$.

Die differentielle Signatur ist eine reelle Zahl aus dem Intervall ${}[0,1]$. Es ist unbekannt, ob sie stets eine rationale Zahl ist. Für einen regulären Ring hat sie den Wert ${}1$, da in diesem Fall die Hauptteilmoduln frei sind; ob die Umkehrung gilt, ist ein wichtiges offenes Problem (man muss jedenfalls normal und eventuell Charakteristik ${}0$ voraussetzen). Ein weiteres offenes Problem ist, ob der Limes superior ein Limes ist. Für Integritätsbereiche ist der Rangbegriff unproblematisch und hängt nur von der Dimension des Ringes ab, und zwar ist er gleich ${}{\binom {d+n}{d}}$. Asymptotisch betrachtet muss man also durch ${}n^{d}/d!$ dividieren.

Lemma

Es sei ${}(R,{\mathfrak {m}},K)$ ein lokaler Ring und ${}M$ ein ${}R$-Modul.

Dann ist der freie Rang von ${}M$ gleich der ${}K$-Dimension des Quotienten ${}Q$ in der kurzen exakten Sequenz

$0\longrightarrow \operatorname {Hom} _{R}{\left(M,{\mathfrak {m}}\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{R}{\left(M,R\right)}\longrightarrow Q\longrightarrow 0.$

Mit der kurzen exakten Sequenz

$0\longrightarrow \operatorname {Hom} _{R}{\left(P_{R{|}K}^{n},{\mathfrak {m}}\right)}=\operatorname {Diff} ^{n}(R,{\mathfrak {m}})\longrightarrow \operatorname {Hom} _{R}{\left(P_{R{|}K}^{n},R\right)}=\operatorname {Diff} ^{n}(R,R)\longrightarrow Q_{n}\longrightarrow 0$

kann man die relevanten Zahlen als die ${}R/{\mathfrak {m}}$-Dimension von ${}Q_{n}$ bestimmen. Es geht also um die Differentialoperatoren modulo denjenigen Differentialoperatoren, die im maximalen Ideal landen. Achtung, dies sind nicht die ${}R/{\mathfrak {m}}$-wertigen Differentialoperatoren ${}\operatorname {Diff} ^{n}(R,R/{\mathfrak {m}})$, sondern nur eine bestimmte Teilmenge davon.

Exkurs: Die F-Signatur

Die genauere ${}R$-Modulstruktur von ${}\,^{e}R$ im nichtregulären Fall wurde vor allem von Smith und van den Bergh, Seibert, Huneke und Leuschke, Watanabe und Yoshida studiert. Die grundlegende Beobachtung ist, dass wenn ${}R$ eine „milde“ Singularität repräsentiert, dass dann eine gewisse Regelmäßigkeit in der ${}R$-Modulstruktur von ${}\,^{e}R$ für ${}e\in \mathbb {N}$ zu beobachten ist. Wir konzentrieren uns hier auf die sogenannte ${}F$-Signatur.

Definition

Es sei ${}R$ ein ${}F$-endlicher Ring der Dimension ${}d$ in positiver Charakteristik ${}p$. Zu jedem ${}e\in \mathbb {N}$ sei

${}\,^{e}R\cong R^{a_{e}}\oplus M_{e}\,,$

wobei ${}M_{e}$ keinen freien Summanden habe (und ${}a_{e}$ maximal mit dieser Eigenschaft sei). Dann nennt man

$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{e}}{p^{de}}}$

die ${}F$-Signatur von ${}R$.

Die Existenz des Limits wurde von Tucker bewiesen. Die ${}F$-Signatur ist eine reelle Zahl aus dem Intervall ${}[0,1]$. Es ist unbekannt, ob sie stets eine rationale Zahl ist.

Der folgende Satz wurde (im Kontext von Hilbert-Kunz Theorie) von Watanabe und Yoshida bewiesen. Er stellt bereits sicher, dass die ${}F$-Signatur ein sinnvolles Singularitätsmaß ist.

Satz

Ein lokaler noetherscher ungemischter Ring ${}R$ in positiver Charakteristik ist genau dann regulär, wenn die ${}F$-Signatur von ${}R$ gleich ${}1$ ist.

Satz

Ein reduzierter ${}F$-endlicher lokaler exzellenter Ring ${}R$ in positiver Charakteristik ist genau dann stark ${}F$-regulär, wenn die ${}F$-Signatur von ${}R$ positiv ist.

Es sei ${}R$ eine endlich erzeugte ${}\mathbb {Z}$-Algebra, also

${}R=\mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}\,,$

der Charakteristik ${}0$. Zu jeder Primzahl ${}p$ erhält man einerseits die Charakteristik ${}p$ Version des Ringes

${}R_{p}=R\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /(p)=\mathbb {Z} /(p)[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}\,,$

wobei die Erzeuger des Ideals jeweils modulo ${}p$ zu interpretieren sind (${}p$ ist ein Index, nicht die Nenneraufnahme an ${}p$). Andererseits gibt es die Charakteristik ${}0$ Version, nämlich

${}R_{\mathbb {Q} }=R\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} =\mathbb {Q} [X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}\,.$

Es liegt also eine Familie

$\operatorname {Spec} {\left(R\right)}\longrightarrow \operatorname {Spec} {\left(\mathbb {Z} \right)}$

vor und die Fasern sind die Spektra der angegebenen Ringe. Wenn man endlich viele Primzahlen ausschließt, also ${}\mathbb {Z}$ durch ${}\mathbb {Z} _{f}$ ersetzt, so liegt eine flache Familie vor und man erwartet, dass viele Eigenschaften in der Familie konstant sind. Dies ist für viele wichtige Begriffe wie regulär, normal, Cohen-Macaulay richtig. Ein großes Problem ist es aber, diejenigen Konzepte, die auf den Frobenius in den einzelnen Fasern positiver Charakteristik Bezug nehmen, einheitlich zu erfassen und in Charakteristik ${}0$ zu interpretieren. Das Hauptproblem ist, dass die Frobeniushomomorphismen in jeder einzelnen Charakteristik definiert sind aber keine sinnvolle Familie bilden. Wie verhält sich beispielsweise die ${}F$-Signatur von ${}R_{p}$, wenn die Charakteristik gegen unendlich läuft. Hier gibt es kein allgemeines konzeptionelles Resultat. Die positiven Resulte sind vom Typ, dass wenn eine bestimmte Art von Ringen vorliegt, etwa Monoidringe oder Invariantenringe, dass dann das Ergebnis konstant ist, da es von sonstigen nicht-Frobenius Invarianten des Ringes abhängt.

Die Jacobi-Taylor-Matrizen

Wir bezeichnen zu einem Monom ${}\lambda \in \mathbb {N} ^{k}$ mit

${}\partial ^{\lambda }={\left(\partial _{X_{1}}\right)}^{\lambda _{1}}\circ \cdots \circ {\left(\partial _{X_{k}}\right)}^{\lambda _{k}}={\left(\partial _{1}\right)}^{\lambda _{1}}\circ \cdots \circ {\left(\partial _{k}\right)}^{\lambda _{k}}\,$

diesen Differentialoperator auf dem Polynomring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{k}]$. Der Ausdruck

${}{\frac {\partial ^{\lambda }}{\lambda !}}={\frac {1}{\lambda !}}{\left(\partial _{X_{1}}\right)}^{\lambda _{1}}\circ \cdots \circ {\left(\partial _{X_{k}}\right)}^{\lambda _{k}}\,$

ist ebenfalls ein Differentialoperator. Ein Ausdruck der Form ${}\partial ^{\lambda }$, wobei eine Komponente von ${}\lambda$ negativ ist, ist als ${}0$ zu interpretieren. Zur algorithmischen Erfassung von (unitären) Differentialoperatoren dienen die folgenden Aussagen (sie wurden ähnlich auch von Barajas und Duarte entwickelt).

Für eine endlich erzeugte ${}K$-Algebra

${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{k}]/(F_{1},\ldots ,F_{m})\,$

kann man den ${}R$-Modul der Kählerdifferentiale über die exakte Sequenz

$R^{m}\longrightarrow R^{k}\longrightarrow \Omega _{R{|}K}\longrightarrow 0$

beschreiben, wobei die Basiselemente ${}e_{i}$ auf ${}dx_{i}$ gehen und links die transponierte Jacobimatrix steht. Entsprechende Darstellungen für ${}P_{R{|}K}^{n}$ werden durch die folgenden Konstruktionen geliefert.

Definition

Es seien ${}F_{1},\ldots ,F_{m}\in K[X_{1},\ldots ,X_{k}]$ Polynome. Zu ${}n\in \mathbb {N}$ sei ${}I={\left\{(\mu ,i)\mid \mu \in \mathbb {N} ^{k}{\text{ mit }}\operatorname {grad} \,(\mu )\leq n-1,\,1\leq i\leq m\right\}}$ und ${}J={\left\{\nu \mid \nu \in \mathbb {N} ^{k}{\text{ mit }}\operatorname {grad} \,(\nu )\leq n\right\}}$. Dann nennt man die ${}I\times J$-Matrix mit Einträgen

${}a_{(\mu ,i;\nu )}={\frac {\partial ^{\nu -\mu }}{(\nu -\mu )!}}{\left(F_{i}\right)}\,$

die ${}n$-te Jacobi-Taylor-Matrix.

Diese Matrizen bezeichnen wir mit ${}J_{n}$. Man kann sie über dem Polynomring und über dem Restklassenring interpretieren, wobei die letztere Bedeutung wichtiger ist.

In drei Variablen und einer Gleichung ${}F$ sieht die transponierte zweite Jacobi-Taylor-Matrix über dem Restklassenring so aus (über dem Polynomring steht in der Diagonalen noch ${}F$).

${\begin{pmatrix}&1&A&B&C\\1&0&0&0&0\\A&\partial _{X}(F)&0&0&0\\B&\partial _{Y}(F)&0&0&0\\C&\partial _{Z}(F)&0&0&0\\A^{2}&{\frac {1}{2}}\partial _{X}\partial _{X}(F)&\partial _{X}(F)&0&0\\AB&\partial _{X}\partial _{Y}(F)&\partial _{Y}(F)&\partial _{X}(F)&0\\AC&\partial _{X}\partial _{Z}(F)&\partial _{Z}(F)&0&\partial _{X}(F)\\B^{2}&{\frac {1}{2}}\partial _{Y}\partial _{Y}(F)&0&\partial _{Y}(F)&0\\BC&\partial _{Y}\partial _{Z}(F)&0&\partial _{Z}(F)&\partial _{Y}(F)\\C^{2}&{\frac {1}{2}}\partial _{Z}\partial _{Z}(F)&0&0&\partial _{Z}(F)\end{pmatrix}}$

Zu

${}F=X^{2}+Y^{2}+Z^{2}\,$

sieht dies folgendermaßen aus.

${\begin{pmatrix}&1&A&B&C\\1&0&0&0&0\\A&2X&0&0&0\\B&2Y&0&0&0\\C&2Z&0&0&0\\A^{2}&1&2X&0&0\\AB&0&2Y&2X&0\\AC&0&2Z&0&2X\\B^{2}&1&0&2Y&0\\BC&0&0&2Z&2Y\\C^{2}&1&0&0&2Z\end{pmatrix}}$

Korollar

Es seien ${}F_{1},\ldots ,F_{m}\in K[X_{1},\ldots ,X_{k}]$ Polynome mit dem Restklassenring

${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{k}]/{\left(F_{1},\ldots ,F_{m}\right)}\,.$

Dann besitzt der Modul der Hauptteile eine Darstellung (eine exakte Sequenz von ${}R$-Moduln)

$\bigoplus _{\operatorname {grad} \,(\mu )\leq n-1,\,1\leq i\leq m}Re_{\mu ,i}{\stackrel {M}{\longrightarrow }}\bigoplus _{\operatorname {grad} \,(\lambda )\leq n}Re_{\lambda }\longrightarrow P_{R{|}K}^{n}\longrightarrow 0,$

wobei ${}M$ die transponierte ${}n$-te Jacobi-Taylor-Matrix ist.

Korollar

Es seien ${}F_{1},\ldots ,F_{m}\in K[X_{1},\ldots ,X_{k}]$ Polynome mit dem Restklassenring

${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{k}]/{\left(F_{1},\ldots ,F_{m}\right)}\,.$

Dann entsprechen die Differentialoperator der Ordnung ${}\leq n$ auf ${}R$ den Elementen des Kernes der ${}n$-ten Jacobi-Taylor-Matrix.

Beweis

Wir arbeiten mit der exakten Sequenz

$\bigoplus _{\operatorname {grad} \,(\mu )\leq n-1,\,1\leq i\leq m}Re_{\mu ,i}{\stackrel {J_{n}^{\text{tr}}}{\longrightarrow }}\bigoplus _{\operatorname {grad} \,(\lambda )\leq n}Re_{\lambda }\longrightarrow P_{R{|}K}^{n}\longrightarrow 0$

aus Fakt, wobei ${}J_{n}$ die ${}n$-te Jacobi-Taylor-Matrix bezeichnet. Ein Differentialoperator auf ${}R$ ist das gleiche wie eine ${}R$-Linearform auf ${}P_{R{|}K}^{n}$. Dies wiederum ist das gleiche wie eine ${}R$-Linearform ${}\varphi$ auf ${}\bigoplus _{\operatorname {grad} \,(\lambda )\leq n}Re_{\lambda }$ (also einfach ein ${}R$-Tupel ${}a_{\lambda }$), die die Eigenschaft ${}\varphi \circ {J_{n}^{\text{tr}}}=0$ erfüllt. Dies ist äquivalent zu ${}J_{n}\circ {\varphi ^{\text{tr}}}=0$.

$\Box$

Korollar

Es seien ${}F_{1},\ldots ,F_{m}\in K[X_{1},\ldots ,X_{k}]$ Polynome mit dem Restklassenring

${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{k}]/{\left(F_{1},\ldots ,F_{m}\right)}\,.$

Dann wird ein durch ein ${}\lambda$-Tupel ${}{\left(a_{\lambda }\right)}$ im Sinne von Fakt gegebener Differentialoperator auf ${}R$ auf dem Polynomring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{k}]$ durch

$\sum _{\lambda }a_{\lambda }{\frac {\partial ^{\lambda }}{\lambda !}}$

repräsentiert.

Ein Differentialoperator auf einem lokalen Ring ist genau dann unitär, wenn ein ${}a_{\lambda }$ eine Einheit ist. Ein Element des Linkskerns im obigen Beispiel ist

$\left(0,\,1,\,0,\,0,\,2X,\,2Y,\,2Z,\,-2X,\,0,\,-2X\right),$

der zugehörige Operator ist

$\partial _{X}+X\partial _{X}^{2}+2Y\partial _{X}\partial _{Y}+2Z\partial _{X}\partial _{Z}-X\partial _{Y}^{2}-X\partial _{Z}^{2}.$

Dieser ist unitär der Ordnung ${}2$ und schickt ${}X$ auf ${}1$.

Computations of differential signature

The computation of the differential signature in certain important classes of examples rests on the following strategy: realize the ring ${}R$ as a direct summand of a regular ring (polynomial ring) ${}S$. This implies that the differential signature is positive. To obtain however a precise statement one also needs that the ring extension is differentially extensible, meaning that every differential operator of ${}R$ extends to the regular ring. For example, if we look at the natural action of the symmetric group on the polynomial ring, then the invariant ring is isomorphic to the polynomial ring itself, and the extension is not differentially extensible. Therefore we need the smallness assumption in the following theorem, which implies that

$\operatorname {Spec} {\left(S\right)}\longrightarrow \operatorname {Spec} {\left(R\right)}$

is etale in codimension one.

Theorem

Let ${}G\subseteq \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ be a small finite group with its natural action on the polynomial ring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$. Suppose that the characteristic of ${}K$ does not divide the order of the group.

Then the differential signature of the invariant ring

${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{G}\,$

is ${}{\frac {1}{\operatorname {ord} {\left(G\right)}}}$

Here both signatures coincide. The unitary operators can also be described easily. If ${}E$ is a unitary operator on ${}S$ then ${}{\frac {1}{\operatorname {ord} {\left(G\right)}}}{\left(\sum _{g\in G}g^{-1}Eg\right)}$ is a unitary operator on ${}R$.

For a positive normal toric monoid we work with the direct summand coming from ${}M\subseteq \mathbb {N} ^{r}$. On one hand, the monoid ring

${}K[M]\subseteq K[\mathbb {N} ^{r}]\cong K[Y_{1},\ldots ,Y_{r}]\,$

is the degree ${}0$ part of the divisor class group grading, on the other hand, it inherits the standard grading from the polynomial ring. In this situation we have the following general fact. The property differentially extensible means that every differential operator of the subring extends to a differential operator in the bigger ring.

Theorem

Let ${}R\subseteq S=K[Y_{1},\ldots ,Y_{r}]$ be an ${}\mathbb {N}$-graded ${}K$-subalgebra of the standard-graded polynomial ring. Suppose that this inclusion is a direct summand which is also differentially extensible.

Then

${}R_{\geq n}={\mathfrak {m}}^{\langle n\rangle }\,$

and

${}R_{n}={\mathfrak {m}}^{\langle n\rangle }/{\mathfrak {m}}^{\langle n+1\rangle }\,,$

where ${}{\mathfrak {m}}=R_{+}$. The differential signature of ${}R$ equals its degree (as a graded ring), it is a rational number and the defining sequence converges.

This means that we have a natural grading coming from differental powers and hence from differential operators.

Theorem

Let ${}C$ be a pointed rational cone in ${}\mathbb {R} ^{d}$ defining the monoid ${}M=\mathbb {Z} ^{d}\cap C$. Let ${}F_{1},\ldots ,F_{r}$ be the facets of ${}C$ and let ${}\ell _{1},\ldots ,\ell _{r}$ be the describing integral linear forms, meaning that they are positive in the interior of the cone and that they vanish on the corresponding facets. Suppose that ${}K$ is a field of characteristic ${}0$.

Then the differential signature of the monoid ring ${}K[M]$ is

$d!\operatorname {vol} {\left\{P\in C\mid (\ell _{1}+\cdots +\ell _{r})(P)\leq 1\right\}}.$

Theorem

Let ${}K$ be an algebraically closed field of characteristic zero.

Then the differential signature of the determinantal ring of ${}m\times n$-matrices of rank ${}r$

${}R=K[X_{a,b},\,1\leq a\leq m,\,1\leq b\leq n]/({\text{ minors of seize }}r)\,$

is

${\frac {1}{2^{r(m+n-r)}}}\det {\left({\binom {m+n-i-j}{m-i}}_{1\leq i,j\leq r}\right)}.$

In this class of examples the ${}F$-signature is not known.

Necessary conditions for positive differential signature

Theorem

Let ${}R$ be a reduced noetherian local ${}K$-algebra. Suppose that the differential signature is positive.

Then ${}R$ is a simple ${}D_{R{|}K}$-module.

This rests on the fact that the core is zero, since otherwise it would be of positive dimension and that would give a lower dimensional bound for the signature function contradicting the positivity.

Theorem

Let ${}R$ be a standard-graded normal domain over an algebraically closed field ${}K$ of characteristic ${}0$. Suppose that ${}R$ is Gorenstein and that it has an isolated singularity. Suppose that the differential signature of ${}R$ is positive. Then the following hold.

1. The ${}a$-invariant of ${}R$ is negative.
2. ${}R$ has a rational singularity.
3. ${}R$ is log-terminal.
4. The Kodaira dimension of ${}\operatorname {Proj} R$ is negative.
5. ${}\operatorname {Proj} R$ is Fano.

The main idea is to look at the canonical line bundle ${}{\mathcal {O}}_{X}(a)$, where ${}a$ is the ${}a$-invariant of the ring. A result of Hsiao gives that the simplicity of ${}R$ as a module over the ring of differential operators implies that the tangent bundle ${}{\mathcal {T}}_{X}$ on ${}X$ is big. We have

${}\bigwedge ^{\operatorname {dim} (X)}{\mathcal {T}}_{X}\cong {\mathcal {O}}_{X}(-a)\,.$

Assuming

${}a\geq 0\,$

implies that ${}{\mathcal {T}}_{X}$ is semistable and then restricting to a generic complete intersetion curve gives a contradiction.

Ths theorem says in particular that a homogeneous hypersurface with an isolated singularity where the degree is larger than the dimension of the cone the differential signature is ${}0$. Such singularites are not mild in the sense of differential signature. This includes cones over elliptic curves, cones over surfaces of degree ${}4$, and so on.

Problem: Does the converse of this Theorem hold? In particular we do not know whether the cone over a cubic in four variables like ${}X^{3}+Y^{3}+Z^{3}+W^{3}$ has positive differential signature. It is known that the ${}F$-signature is positive in such a situation.

Differential signature and ${}F$-signature

Theorem

Let ${}R$ denote a local noetherian ring in positive characteristic.

If the ${}F$-signature of ${}R$ is positive, then also the differential signature of ${}R$ is positive, and we have the estimate

${}{\frac {\mu ^{d}}{d!}}\operatorname {DS} (R)\geq \operatorname {FS} (R)\,,$

where

${}\mu =\operatorname {dim} _{K^{p}}(R/{\mathfrak {m}}^{[p]})\,.$

If ${}R$ is ${}F$-pure and the differential signature is positive, then also the ${}F$-signature is positive. Moreover, if in this setting the differential signature exists as a limit, then the estimate

${}\operatorname {FS} (R)\geq {\frac {1}{d!}}\operatorname {DS} (R)\,$

holds.

The following example shows that without the ${}F$-pure hypothesis the second implication is not true.

Example

We consider in characteristic ${}p$ the ring given by the equation

${}X^{p}+Y^{p+1}+Z^{p+1}=0\,.$

This is a normal hypersurface ring. This ring is not ${}F$-pure, since ${}X\notin (Y,Z)$, but ${}X^{p}\in (Y^{p},Z^{p})$. Hence it is not strongly ${}F$-regular and so its ${}F$-signature is ${}0$. However, the differential signature is positive. This example is also an easy counterexample to the Zariski-Lipman conjecture.

The differential signature for quadrics

We want to discuss techniques which help to compute the differential signature for quadrics. The modules of principal parts are related by the short exact sequence of ${}R$-modules

$0\longrightarrow \Delta ^{n}/\Delta ^{n+1}\longrightarrow P_{R{|}K}^{n}\longrightarrow P_{R{|}K}^{n-1}\longrightarrow 0.$

Moreover, there is a surjective ${}R$-module homomorphism

$\operatorname {Sym} ^{n}(\Omega _{R{|}K})\longrightarrow \Delta ^{n}/\Delta ^{n+1}.$

Note that ${}\Omega _{R{|}K}=\Delta ^{1}/\Delta ^{2}$. The direct sums

$\bigoplus _{n}\operatorname {Sym} ^{n}(\Omega _{R{|}K})\longrightarrow \bigoplus _{n}\Delta ^{n}/\Delta ^{n+1}$

are called the tangent algebra and the graded associated ring (for the diagonal embedding). Composition and dualizing gives an exact sequence

$\operatorname {Diff} ^{n-1}(R,R)=\operatorname {Hom} _{R}(P_{R{|}K}^{n-1},R)\longrightarrow \operatorname {Diff} ^{n}(R,R)=\operatorname {Hom} _{R}(P_{R{|}K}^{n},R)\longrightarrow \operatorname {Hom} _{R}(\operatorname {Sym} ^{n}(\Omega _{R{|}K}),R).$

For an operator ${}E$ or order ${}\leq n$ and a symmetric product ${}df_{1}\cdots df_{n}$ of the generators we have

${}{\begin{aligned}E(df_{1}\cdots df_{n})&=\sum _{I\subseteq \{1,\ldots ,n\}}(-1)^{\#\left(I\right)}{\left(\prod _{i\notin I}f_{i}\right)}E{\left(\prod _{i\in I}f_{i}\right)}\\\end{aligned}}$

We have the following relation, where the symmetric product ${}\delta _{1}\cdots \delta _{n}$ of derivations is sent to the linear form, which sends a symmetric product ${}\omega _{1}\cdots \omega _{n}$ to

$\sum _{\pi \in S_{n}}\prod _{i=1}^{n}\delta _{\pi (i)}(\omega _{i}).$

Theorem

Let ${}R$ be a commutative ${}K$-Algebra over a field ${}K$ and let ${}\delta _{1},\ldots ,\delta _{n}$ be derivations.

Then the composition ${}\delta _{n}\circ \cdots \circ \delta _{1}$ is sent under the natural map

$\operatorname {Diff} _{K}^{n}(R,R)\longrightarrow \operatorname {Hom} _{R}(\operatorname {Sym} _{R}^{n}(\Omega _{R{|K}}),R)$

to the image of the symmetric product ${}\delta _{n}\cdots \delta _{1}$ under the natural map

$\operatorname {Sym} _{R}^{n}(\operatorname {Der} _{K}(R,R))\cong \operatorname {Sym} _{R}^{n}(\operatorname {Hom} _{R}(\Omega _{R{|K}},R))\longrightarrow \operatorname {Hom} _{R}(\operatorname {Sym} _{R}^{n}(\Omega _{R{|K}}),R).$

The relation between the differential operators with their action on the symmetric products is in particular helpful in the graded case. If ${}R$ is graded, then every differential operator has a decomposition into homogeneous operators. The degree of a homogeneous operator ${}E$ is given as the difference

$\operatorname {deg} (E(f))-\operatorname {deg} (f)$

for every homogeneous element of the ring. For example, the operator ${}x^{\nu }\partial ^{\lambda }$ on the polynomial ring has degree ${}\operatorname {deg} (\nu )-\operatorname {deg} (\lambda )$. The unitary condition imposes strong conditions on the degree of an operator. If a homogeneous operator is unitary and sends a homogeneous ${}f$ to ${}1$, then the degree of the operator is ${}-\operatorname {deg} (f)$. Hence the nonexistence of operators and of linear forms on symmetric powers in certain degree give bounds for the differential signature from above.

Lemma

Let ${}R$ denote a standard-graded ring over ${}K$ of dimension ${}d$ and of multiplicity ${}e$. Suppose that there exists ${}\alpha \in \mathbb {R} _{\geq 0}$ such that

${}\operatorname {Hom} _{R}(\operatorname {Sym} ^{n}(\Omega _{R{|}K}),R)_{\ell }=0\,$

for all ${}\ell <-\alpha n$.

Then the differential signature of ${}R$ is bounded from above by ${}e\alpha ^{d}$.

If ${}R$ is standard-graded and has an isolated singularity, so that its projective spectrum ${}\operatorname {Proj} R$ is smooth, then one can try to find such degree bounds for ${}\operatorname {Sym} ^{n}(\Omega _{R{|}K})$ and Homs whereof using methods from algebraic geometry.

We will apply this observation for the computation of the differential signature for quadrics.

Lemma

Let ${}K$ be an algebraically closed field of characteristic zero. Let ${}f$ be an irreducible quadric in ${}d+1$ variables, ${}d\geq 2$.

Then the symmetric powers ${}\operatorname {Sym} ^{n}(\operatorname {Syz} (x_{1},\ldots ,x_{d+1}))(m)$ on the quadric

${}Q_{d}=\operatorname {Proj} K[x_{1},\ldots ,x_{d+1}]/(f)\,$

have no nontrivial section for ${}m<{\frac {3}{2}}n$.

This is proved by induction on the dimension, the starting point is the case of a quadric curve inside the projective plane. Here the restriction of the syzygy bundle splits into line bundles.

Theorem

Let ${}K$ be an algebraically closed field of characteristic zero and ${}d\geq 2$.

Then the differential signature of the quadric hypersurface

${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{d+1}]/{\left(X_{1}^{2}+\cdots +X_{d+1}^{2}\right)}\,$

is ${}{\left({\frac {1}{2}}\right)}^{d-1}$.

In dimension ${}2$ this ring can be realized as an invariant ring for the group ${}\mathbb {Z} /(2)$, and also as a monoid ring with the equation ${}XY=Z^{2}$. In dimension ${}3$ we have the monoid ring given by the equation ${}XY=ZW$. In general, the proof consists in two parts. On one hand, one has to show rather explicitly with the help of the Jacobi-Taylor matrices that there exist unitary differential operators of order ${}2$ on the quadric, namely of the form

${}E_{1}=(d-1)\partial _{1}+x_{1}\partial _{1}^{2}-\sum _{j\neq 1}x_{1}\partial _{j}^{2}+2\sum _{j\neq 1}x_{j}\partial _{1}\partial _{j}\,.$

A careful study compositions of these operators shows that the differential signature is ${}\geq {\left({\frac {1}{2}}\right)}^{d-1}$. Then Fakt gives the other estimate.

Compare this with the limit of the ${}F$-signatures as ${}p$ tends to infinity, which were computed by Gessel and Monsky.

${}d$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$	${}7$
${}\lim _{p\rightarrow \infty }FS(R_{p})$	${}{\frac {1}{2}}$	${}{\frac {2}{3}}$	${}{\frac {19}{24}}$	${}{\frac {13}{15}}$	${}{\frac {659}{720}}$	${}{\frac {298}{315}}$

These numbers are ${}1-$the coefficient of ${}z^{d}$ in the expansion of ${}\tan z+\sec z$.

Differential powers and differential core

We describe a second approach to the differential signature.

Definition

Let ${}R$ be a ${}K$-algebra and ${}I\subseteq R$ an ideal. Then we call

${}I^{\langle n\rangle }={\left\{f\in R\mid E(f)\in I{\text{ for all }}E\in \operatorname {Diff} ^{n-1}(R,R)\right\}}\,$

the ${}n$th differential power of ${}I$.

The differential powers are ideals, we have ${}I^{\langle 1\rangle }=I$ and ${}I^{n}\subseteq I^{\langle n\rangle }$. They from a decreasing sequence of ideals

${}I^{\langle n+1\rangle }\subseteq I^{\langle n\rangle }\,.$

Of particular importance is the family ${}{\mathfrak {m}}^{\langle n\rangle }$, ${}n\in \mathbb {N}$, for a maximal ideal in a local ring. Since these contain certain ordinary powers of the maximal ideal, they have finite colength.

If ${}(R,{\mathfrak {m}})$ is a local ${}K$-algebra with ${}R/{\mathfrak {m}}\cong K$ then there is a perfect pairing

$R/{\mathfrak {m}}^{\langle n+1\rangle }\times \operatorname {Diff} ^{n}(R,R)/\operatorname {Diff} ^{n}(R,{\mathfrak {m}})\longrightarrow R/{\mathfrak {m}},\,(f,E)\longmapsto {\overline {E(f)}}$

and the ${}K$-dimension of

${}Q_{n}=\operatorname {Diff} ^{n}(R,R)/\operatorname {Diff} ^{n}(R,{\mathfrak {m}})\,,$

which is the freerank of the module of principal parts, equals the ${}K$-dimension of ${}R/{\mathfrak {m}}^{\langle n+1\rangle }$. Hence we can also define

${}\operatorname {DS} (R)=\limsup _{n}{\frac {\operatorname {length} {\left(R/{\mathfrak {m}}^{\langle n+1\rangle }\right)}}{n^{d}/d!}}\,$

under the mentioned assumptions. This approach has the advantage that it is defined for any noetherian local ring and that one has a direct comparison with ordinary powers and so with the Hilbert-Samuel multiplicity.

Definition

Let ${}(R,{\mathfrak {m}})$ be a local noetherian ${}K$-algebra. Then the intersection

$\bigcap _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {m}}^{\langle n\rangle }$

is called the differential core of ${}R$.

We have

${}\bigcap _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {m}}^{\langle n\rangle }={\left\{f\in R\mid E(f)\in {\mathfrak {m}}{\text{ for all differential operators}}E\right\}}\,$

so this is the set of elements for which there exists no unitary operator at all. The differential core is a submodule of ${}R$ for the ring of differential operators.

Lemma

Let ${}R$ be a noetherian ${}K$-algebra. Then the following are equivalent.

1. ${}R$ is a simple ${}D_{R{|}K}$-module.
2. The differential core is ${}0$.
3. For all ${}f\in R$, ${}f\neq 0$, there exists a differential operator ${}E$ with ${}E(f)=1$.