Differenzierbare Kurven/Vektorraum/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall, ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und

$f\colon I\longrightarrow V$

eine Abbildung. Dann heißt ${}f$ in ${}t\in I$ differenzierbar, wenn der Limes

$\operatorname {lim} _{h\rightarrow 0}\,{\frac {f(t+h)-f(t)}{h}}$

existiert. Dieser Limes heißt dann die Ableitung von ${}f$ in ${}t$ und wird mit

$f'(t)$

bezeichnet.

Die Ableitung ist selbst wieder ein Vektor in ${}V$. Statt Ableitung spricht man auch vom Differentialquotienten in einem (Zeit)-Punkt ${}t$.

Definition

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall, ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und

$f\colon I\longrightarrow V$

eine Abbildung. Dann heißt ${}f$ differenzierbar, wenn ${}f$ in jedem Punkt ${}t\in I$ differenzierbar ist. Die Abbildung

$I\longrightarrow V,\,t\longmapsto f'(t),$

heißt dann die Ableitung von ${}f$.

Die Ableitung einer differenzierbaren Kurve ist damit selbst wieder eine Kurve. Wenn die Ableitung stetig ist, so nennt man die Kurve stetig differenzierbar. Wenn die Ableitung selbst differenzierbar ist, so nennt man die Ableitung der Ableitung die zweite Ableitung der Ausgangskurve.

Das folgende Lemma zeigt, dass dieser Differenzierbarkeitsbegriff nichts wesentlich neues ist, da er auf die Differenzierbarkeit von Funktionen in einer Variablen zurückgeführt werden kann.

Lemma

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall, ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und

$f\colon I\longrightarrow V$

eine Abbildung. Es sei ${}v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$ und es seien

$f_{j}\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

die zugehörigen Komponentenfunktionen von ${}f$. Es sei ${}t\in I$.

Dann ist ${}f$ genau dann differenzierbar in ${}t$, wenn sämtliche Funktionen ${}f_{j}$ in ${}t$ differenzierbar sind.

In diesem Fall gilt

${}f'(t)=f_{1}'(t)\cdot v_{1}+f_{2}'(t)\cdot v_{2}+\cdots +f_{n}'(t)\cdot v_{n}\,.$

Beweis

Sei ${}t'\in I$, ${}t'\neq t$. Es ist

${}{\begin{aligned}{\frac {f(t')-f(t)}{t'-t}}&={\frac {\sum _{j=1}^{n}f_{j}(t')\cdot v_{j}-\sum _{j=1}^{n}f_{j}(t)\cdot v_{j}}{t'-t}}\\&=\sum _{j=1}^{n}{\frac {f_{j}(t')-f_{j}(t)}{t'-t}}\cdot v_{j}.\end{aligned}}$

Nach Aufgabe existiert der Limes links für ${}t'\rightarrow t$ genau dann, wenn der entsprechende Limes rechts komponentenweise existiert.

$\Box$

Beispiel

Die Kurve

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto \left(t^{2}-t^{3},\,t\cdot \sin t,\,e^{-t}\right)$

ist in jedem Punkt ${}t\in \mathbb {R}$ differenzierbar, und zwar ist

${}f'(t)=\left(2t-3t^{2},\,\sin t+t\cdot \cos t,\,-e^{-t}\right)\,.$

Bei der Formulierung von Rechenregeln für differenzierbare Wege (und allgemeiner differenzierbare Abbildungen in höherer Dimension) muss man etwas vorsichtiger sein als in der eindimensionalen Situation und insbesondere sicherstellen, dass die Verknüpfungen zusammenpassen.

Lemma

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall und ${}V$ ein euklidischer Vektorraum. Es seien

$f,g\colon I\longrightarrow V$

zwei in ${}t_{0}\in I$ differenzierbare Kurven und es sei

$h\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine in ${}t_{0}$ differenzierbare Funktion. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die Summe

   $f+g\colon I\longrightarrow V,\,t\longmapsto f(t)+g(t),$

   ist in ${}t_{0}$ differenzierbar mit

   ${}(f+g)'(t_{0})=f'(t_{0})+g'(t_{0})\,.$

2. Das Produkt

   $hf\colon I\longrightarrow V,\,t\longmapsto h(t)\cdot f(t),$

   ist differenzierbar in ${}t_{0}$ mit

   ${}(hf)'(t_{0})=h(t_{0})\cdot f'(t_{0})+h'(t_{0})\cdot f(t_{0})\,.$

   Insbesondere ist für ${}c\in \mathbb {R}$ auch ${}cf$ differenzierbar in ${}t_{0}$ mit

   ${}(cf)'(t_{0})=cf'(t_{0})\,.$

3. Wenn ${}h$ nullstellenfrei ist, so ist auch die Quotientenfunktion

   ${\frac {f}{h}}\colon I\longrightarrow V,\,t\longmapsto {\frac {f(t)}{h(t)}},$

   in ${}t_{0}$ differenzierbar mit

   ${}{\left({\frac {f}{h}}\right)}'(t_{0})={\frac {h(t_{0})f'(t_{0})-h'(t_{0})f(t_{0})}{(h(t_{0}))^{2}}}\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Man kann natürlich zwei Abbildungen ${}f,g\colon I\rightarrow V$ nicht miteinander multiplizieren, sodass in der obigen Produktregel eine differenzierbare Kurve und eine differenzierbare Funktion auftreten. Ebenso muss die Kettenregel mit Bedacht formuliert werden. Später werden wir noch eine allgemeinere Kettenregel kennenlernen.

Lemma

Es seien ${}I$ und ${}J$ zwei reelle Intervalle, es sei

$h\colon I\longrightarrow J,\,s\longmapsto h(s),$

eine in ${}s_{0}\in I$ differenzierbare Funktion und es sei

$f\colon J\longrightarrow V,\,t\longmapsto f(t),$

eine in ${}t_{0}=h(s_{0})$ differenzierbare Kurve in einem euklidischen Vektorraum ${}V$.

Dann ist auch die zusammengesetzte Kurve

$f\circ h\colon I\longrightarrow V,\,s\longmapsto f(h(s)),$

in ${}s_{0}$ differenzierbar und es gilt

${}(f\circ h)'(s_{0})=h'(s_{0})\cdot f'(h(s_{0}))\,.$

Beweis

Es seien ${}f_{1},\ldots ,f_{n}$ die Komponentenfunktionen von ${}f$ bezüglich einer Basis von ${}V$. Nach der Kettenregel in einer Variablen gilt

${}(f_{i}\circ h)'(s_{0})=h'(s_{0})\cdot f_{i}'(h(s_{0}))\,$

für jedes ${}i=1,\ldots ,n$. Dies ist wegen Fakt die Behauptung.

$\Box$

In der vorstehenden Situation sollte man sich ${}h$ als eine Umparametrisierung der Zeit vorstellen. Die Bahn der Kurve bleibt erhalten, es ändert sich aber die Geschwindigkeit und eventuell die Orientierung, mit der die Bahn durchlaufen wird. Wenn ${}h\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$, ${}t\longmapsto -t$ die Negation ist, so wird die Kurve mit umgekehrter Zeitrichtung durchlaufen. Die Aussage besagt in diesem Fall, dass die Ableitung der umgekehrten Kurve negiert werden muss.

Lemma

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall, ${}V$ und ${}W$ seien euklidische Vektorräume und es sei

$f\colon I\longrightarrow V$

eine differenzierbare Kurve. Es sei

$L\colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung.

Dann ist auch die zusammengesetzte Abbildung

$L\circ f\colon I\longrightarrow W,\,t\longmapsto L(f(t)),$

differenzierbar und es gilt

${}(L\circ f)'(t)=L(f'(t))\,.$

Beweis

Sei ${}t_{0}\in I$ fixiert und sei ${}t\in I$, ${}t\neq t_{0}$. Wegen der Linearität ist

${}L{\left({\frac {f(t)-f(t_{0})}{t-t_{0}}}\right)}={\frac {L(f(t))-L(f(t_{0}))}{t-t_{0}}}\,.$

D.h. der Differenzenquotient zu ${}L\circ f$ ist gleich dem Wert unter ${}L$ des Differenzenquotienten zu ${}f$. Wegen der Voraussetzung und der Stetigkeit einer linearen Abbildung existiert der Limes links für ${}t\rightarrow t_{0}$, also existiert auch der Limes rechts, und das bedeutet, dass der Differentialquotient der zusammengesetzten Abbildung ${}L\circ f$ existiert und mit dem Wert unter ${}L$ des Differentialquotienten zu ${}f$ übereinstimmt.

$\Box$