Dreiecksgeometrie/Winkelhalbierende/Einführung/Textabschnitt


Zu zwei linear unabhängigen Vektoren und in einem normierten reellen Vektorraum nennt man die von

erzeugte Gerade die Winkelhalbierende der beiden Strahlen.

Die Winkelhalbierende wird also ohne Bezug auf einen Winkel definiert, es wird ja noch nicht einmal ein Skalarprodukt vorausgesetzt. Wenn sich aber die beiden Vektoren in einem euklidischen Raum befinden, so zeigt eine einfache Überlegung (siehe Aufgabe), dass die Winkelhalbierende in der Tat den Winkel halbiert. Die Definition überträgt sich direkt auf einen affinen Raum über einem normierten Vektorraum, und zwar definieren drei nicht kollineare Punkte jeweils eine Winkelhalbierende durch jeden der beteiligten Punkte.



Es seien linear unabhängige Vektoren in .

Dann liegen auf der Winkelhalbierenden zu und nur Punkte, die zu und den gleichen Abstand haben. Wenn ein Punkt zu und den gleichen Abstand besitzt, so liegt er auf der Winkelhalbierenden zu und oder auf der Winkelhalbierenden zu und .

Wir können annehmen, dass und normiert sind. Es sei . Nach Fakt ist

und entsprechend

Also sind die Abstände genau dann gleich, wenn

ist. Wenn

ist, so ist

und die Gleichung gilt. Für die Umkehrung können wir

ansetzen. Bei

folgt

und somit

Da und normiert und linear unabhängig sind, ist nach Aufgabe

der rechte Faktor ist nicht und somit ist . Bei

folgt mit einer ähnlichen Überlegung .




Die drei Winkelhalbierenden in einem nichtausgearteten Dreieck

treffen sich in einem gemeinsamen Schnittpunkt, der zu jeder Seite des Dreiecks den gleichen Abstand.

Wenn die Eckpunkte durch und die Seitenlängen mit bezeichnet werden, so besitzt dieser Schnittpunkt die Koordinaten

Nach Fakt besteht die Winkelhalbierende zu aus Punkten, die zu den anliegenden Seiten(geraden) und den gleichen Abstand haben. Ebenso besteht die Winkelhalbierende zu aus Punkten, die zu den anliegenden Seiten(geraden) und den gleichen Abstand haben. Daher besitzt der Schnittpunkt dieser beiden Winkelhalbierenden, den es geben muss, zu allen drei Seiten den gleichen Abstand. Darüber hinaus stimmt das Skalarprodukt von diesem Schnittpunkt mit den drei normierten Seitenvektoren überein, wie der Beweis zu Fakt zeigt. Wiederum wegen Fakt muss er dann auch auf der dritten Winkelhalbierenden liegen.

Zur Koordinatenbestimmung schreiben wir die Winkelhalbierende durch als

bzw.

Die Gleichsetzung mit der Winkelhalbierenden durch führt auf

Die Lösung ist durch

und

gegeben, da dies eingesetzt jeweils zu

führt. Dies ist also der Schnittpunkt, und zwar von allen drei Winkelhalbierenden.



Der Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden in einem nichtausgearteten Dreieck in der euklidischen Ebene heißt Inkreismittelpunkt.

Der Kreis um den Inkreismittelpunkt, der die drei Seiten des Dreiecks tangential trifft, heißt entsprechend Inkreis.