Ebene Isometrien/Textabschnitt

Die Hintereinanderschaltung von zwei Drehungen ${}{\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,\alpha &-\operatorname {sin} \,\alpha \\\operatorname {sin} \,\alpha &\operatorname {cos} \,\alpha \end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,\beta &-\operatorname {sin} \,\beta \\\operatorname {sin} \,\beta &\operatorname {cos} \,\beta \end{pmatrix}}$ ist ${}{\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,(\alpha +\beta )&-\operatorname {sin} \,(\alpha +\beta )\\\operatorname {sin} \,(\alpha +\beta )&\operatorname {cos} \,(\alpha +\beta )\end{pmatrix}}$. Diese Eigenschaft ist einleuchtend, wenn man die intuitive Vorstellung, die sich mit einer Drehung verbindet, verwendet. Unter Verwendung der Additionstheoreme für die trigonometrischen Funktionen kann man sie beweisen. Umgekehrt folgen die Additionstheoreme aus dieser Eigenschaft, siehe Aufgabe. Aus dieser Eigenschaft folgt auch, dass die Gruppe der ebenen Drehungen kommutativ ist.

Satz

Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

eine eigentliche, lineare Isometrie.

Dann ist ${}\varphi$ eine Drehung,

und ihre Matrix hat bezüglich der Standardbasis die Gestalt

${}D(\theta )={\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,\theta &-\operatorname {sin} \,\theta \\\operatorname {sin} \,\theta &\operatorname {cos} \,\theta \end{pmatrix}}\,$

mit einem eindeutig bestimmten Drehwinkel ${}\theta \in [0,2\pi [$.

Beweis

Es seien ${}(x,y)$ und ${}(u,v)$ die Bilder der Standardvektoren ${}(1,0)$ und ${}(0,1)$. Unter einer Isometrie wird die Länge eines Vektors erhalten, daher ist

${}\Vert {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\Vert ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}=1\,.$

Daher ist ${}x$ eine reelle Zahl zwischen ${}-1$ und ${}+1$ und ${}y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}$, d.h. ${}(x,y)$ ist ein Punkt auf dem reellen Einheitskreis. Der Einheitskreis wird bekanntlich durch die trigonometrischen Funktionen parametrisiert, d.h. es gibt einen eindeutig bestimmten Winkel ${}\theta$, ${}0\leq \theta <2\pi$, mit

${}(x,y)=(\operatorname {cos} \,\theta ,\operatorname {sin} \,\theta )\,.$

Da unter einer Isometrie die Senkrechtsbeziehung erhalten bleibt, muss

${}\left\langle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}\right\rangle =xu+yv=0\,$

gelten. Bei ${}y=0$ folgt daraus (wegen ${}x=\pm 1$) ${}u=0$. Dann ist ${}v=\pm 1$ und wegen der Eigentlichkeit muss das Vorzeichen dasselbe wie von ${}x$ sein. Es sei also ${}y\neq 0$. Dann gilt

${}{\begin{pmatrix}-v\\u\end{pmatrix}}={\frac {u}{y}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,.$

Da die beiden Vektoren die Länge ${}1$ haben, muss der skalare Faktor ${}u/y$ den Betrag ${}1$ haben. Bei ${}u=y$ wäre ${}v=-x$ und die Determinante wäre ${}-1$. Also muss $u=-y$ und $v=x$ sein, was die Behauptung ergibt.

$\Box$

Satz

Sei

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

eine uneigentliche lineare Isometrie.

Dann ist ${}\varphi$ eine Achsenspiegelung

und ihre Matrix hat bezüglich der Standardbasis die Gestalt

${\begin{pmatrix}\cos \alpha &\sin \alpha \\\sin \alpha &-\cos \alpha \end{pmatrix}}.$

mit einem eindeutig bestimmten Winkel ${}\alpha \in [0,2\pi [$.

Beweis

Wir betrachten

$\varphi \circ {\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}},$

was nach dem Determinantenmultiplikationssatz eine eigentliche Isometrie ist. Nach Fakt gibt es somit einen eindeutig bestimmten Winkel ${}\alpha \in [0,\pi [$ mit

${}\varphi \circ {\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,\alpha &-\operatorname {sin} \,\alpha \\\operatorname {sin} \,\alpha &\operatorname {cos} \,\alpha \end{pmatrix}}\,.$

Somit ist

${}\varphi ={\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,\alpha &-\operatorname {sin} \,\alpha \\\operatorname {sin} \,\alpha &\operatorname {cos} \,\alpha \end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \alpha &\sin \alpha \\\sin \alpha &-\cos \alpha \end{pmatrix}}\,.$

$\Box$

Bei einer solchen Achsenspiegelung ist ${}{\begin{pmatrix}-\sin \alpha \\\cos \alpha -1\end{pmatrix}}$ ein Eigenvektor zum Eigenwert ${}1$, die Spiegelungsachse ist also ${}\mathbb {R} {\begin{pmatrix}-\sin \alpha \\\cos \alpha -1\end{pmatrix}}$, siehe Aufgabe. Eine Achsenspiegelung wird bezüglich der Basis, die aus einen Vektor ${}\neq 0$ der Spiegelungsachse und einem dazu senkrechten Vektor ${}\neq 0$ besteht, durch ${}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$ beschrieben. Die in Fakt gegebene Beschreibung bezüglich der Standardbasis lässt sich also wesentlich verbessern.