Ebene kubische Kurven/Projektiv/Weierstraßform/Textabschnitt

Wir betrachten affine kubische Gleichungen in den Variablen ${}x,y$. Eine Gleichung der Form

$y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}\,$

nennt man eine lange Weierstraß-Gleichung und eine Gleichung der Form

${}y^{2}=x^{3}+ax+b\,$

eine kurze Weierstraß-Gleichung. Die homogene Gestalt der langen Weierstraß-Gleichungen ist

${}Y^{2}Z+a_{1}XYZ+a_{3}YZ^{2}=X^{3}+a_{2}X^{2}Z+a_{4}XZ^{2}+a_{6}Z^{3}\,$

und die homogene Gestalt der kurzen Weierstraß-Gleichung ist

${}Y^{2}Z=X^{3}+aXZ^{2}+bZ^{3}\,.$

Auf die lange Form kann man eine elliptische Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristik ${}\neq 2,3$ nach Fakt stets bringen, aber auch, wie wir jetzt sehen, auf die kurze Form. Wenn man ${}Z=0$ setzt, also den Durchschnitt mit der unendlich fernen Geraden ${}V_{+}(Z)$ betrachtet, so erhält man ${}X^{3}=0$, also den einzigen Schnittpunkt ${}(0,1,0)$, den man üblicherweise als Nullpunkt der Gruppenverknüpfung auf der elliptischen Kurve wählt.

Lemma

Es sei eine affine kubische Gleichung

${}y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}\,$

über einem Körper der Charakteristik ${}\neq 2,3$ gegeben.

Dann gibt es eine lineare Variablensubstitution derart, dass in den neuen Variablen ${}u,v$ die Gleichung die Form

${}v^{2}=u^{3}+au+b\,$

besitzt.

Beweis

Wir schreiben

${}v=y+{\frac {a_{1}}{2}}x+{\frac {a_{3}}{2}}\,.$

Dann ist

${}{\begin{aligned}v^{2}&={\left(y+{\frac {a_{1}}{2}}x+{\frac {a_{3}}{2}}\right)}^{2}\\&=y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y+{\frac {1}{2}}a_{1}a_{3}x+{\frac {1}{4}}a_{1}^{2}x^{2}+{\frac {1}{4}}a_{3}^{2}\\&=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}+{\frac {1}{2}}a_{1}a_{3}x+{\frac {1}{4}}a_{1}^{2}x^{2}+{\frac {1}{4}}a_{3}^{2}\\&=x^{3}+b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0},\end{aligned}}$

wobei wir für dieses kubische Polynom neue Bezeichnungen für die Koeffizienten eingeführt haben. Mit der Transformation ${}u=x+{\frac {b_{2}}{3}}$ können wir den quadratischen Term ${}b_{2}x^{2}$ eliminieren.

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Beispiel

Wir möchten die Fermat-Kubik

${}X^{3}+Y^{3}+Z^{3}=0\,$

in Charakteristik ${}\neq 2,3$ auf die kurze Weierstraßform transformieren. Die Hesse-Matrix ist

${\begin{pmatrix}6X&0&0\\0&6Y&0\\0&0&6Z\end{pmatrix}}.$

Daher ist ${}(0,1,-1)$ ein Wendepunkt der Kurve, den wir nach ${}(0,1,0)$ transformieren wollen. Wir erreichen dies mit den neuen Variablen ${}X=X,Y=Y,W=Y+Z$. Die Gleichung wird zu

${}X^{3}+Y^{3}+(W-Y)^{3}=X^{3}+W^{3}-3W^{2}Y+3WY^{2}=0\,.$

Die (projektive) Tangente in ${}(0,1,0)$ wird durch ${}W=0$ beschrieben. Die Dehomogenisierung bezüglich ${}W$ führt auf die affine Gleichung

${}x^{3}=1-3y+3y^{2}\,,$

durch eine quadratische Ergänzung und Normierung entsteht eine Gleichung der Form

${}{\tilde {y}}^{2}=x^{3}+b\,$

mit ${}b\neq 0$, was man wiederum über einem algebraisch abgeschlossenen Körper zu ${}1$ normieren kann.

Lemma

Es seien

${}y^{2}=x^{3}+ax+b\,$

und

${}y'^{2}=x'^{3}+a'x'+b'\,$

kubische Kurven in kurzer Weierstraßform über einem Körper ${}K$.

Dann gibt es genau dann eine lineare Variablentransformation, die die erste Gleichung in die zweite überführt, wenn es ein ${}c\in K$, ${}c\neq 0$, mit

${}c^{4}a'=a\,$

und

${}c^{6}b'=b\,$

gibt.

Beweis

Es sei

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r&s\\t&u\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}\,.$

Wenn man für ${}x$ den Term ${}rx'+sy'$ einsetzt, so entsteht bei ${}s\neq 0$ ein ${}y'^{3}$-Term, den man durch eine Substitution

${}y=tx'+uy'\,$

nicht wegbekommt. Also muss ${}s=0$ sein. Damit muss auch ${}t=0$ sein, da andernfalls ein ${}x'^{2}$-Term entsteht. Es sei also ${}x=rx'$ und ${}y=uy'$, was auf die neue Gleichung

${}u^{2}y'^{2}=r^{3}x'^{3}+arx'+b\,$

führt. Damit man diese sowohl in ${}x'$ als auch in ${}y'$ normieren kann, muss

${}u^{2}=r^{3}\,$

sein. Dies ist nach Aufgabe genau dann der Fall, wenn es ein ${}c\in K^{\times }$ mit ${}u=c^{3}$, ${}r=c^{2}$ gibt. Die Normierung wird dann mittels Division durch ${}c^{6}$ durchgeführt, was auf ${}a'=ac^{2}/c^{6}=ac^{-4}$ und ${}b'=b/c^{6}=bc^{-6}$ führt.

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Definition

Es sei ${}E$ eine elliptische Kurve über einem Körper ${}K$ in kurzer Weierstraßform

${}y^{2}=x^{3}+ax+b\,.$

Dann nennt man

${}\Delta =-16(4a^{3}+27b^{2})\,$

die Diskriminante von ${}E$.

Vergleiche zur Diskriminante eines kubischen Polynoms auch Fakt und Beispiel. Die Diskriminante ist genau dann ${}\neq 0$, wenn das kubische Polynom ${}x^{3}+ax+b$ keine mehrfache Nullstelle besitzt, was nach Fakt die Glattheit der Kurve bedeutet, siehe Aufgabe.

Definition

Es sei ${}E$ eine elliptische Kurve über einem Körper ${}K$ in kurzer Weierstraßform

${}y^{2}=x^{3}+ax+b\,.$

Dann nennt man

${}j={\frac {-12^{3}(4a)^{3}}{\Delta }}\,,$

wobei ${}\Delta$ die Diskriminante zu ${}E$ bezeichnet, die ${}j$-Invariante von ${}E$.

Bei der in Fakt beschriebenen Transformation ändert sich die ${}j$-Invariante der Kurve nicht, siehe Aufgabe.