Elementare und algebraische Zahlentheorie/2/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	3	2	5	2	0	0	3	0	4	0	0	6	4	5	40

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Das Teilen in einem kommutativen Ring ${}R$.
2. Ein Untermodul ${}U\subseteq M$ zu einem ${}R$-Modul ${}M$.
3. Die Ordnung eines Elementes ${}f\in R$ an einem Primideal ${}{\mathfrak {p}}\neq 0$ in einem Zahlbereich ${}R$.
4. Die Divisorenklassengruppe zu einem Zahlbereich ${}R$.
5. Ein normeuklidischer quadratischer Zahlbereich ${}A_{D}$ (zu $D\neq 0,1$ quadratfrei).
6. Die strikte Äquivalenz von binären quadratischen Formen.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Das Lemma von Bezout für einen Hauptidealbereich ${}R$.
2. Der Charakterisierungssatz für Primelemente im Ring der Gaußschen Zahlen.
3. Der Satz über die Gruppenstruktur von Idealen in einem Zahlbereich.

Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne ${}17^{1000000}$ in ${}\mathbb {Z} /(35)$.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Primfaktorzerlegung von

${\binom {49}{6}}.$

Aufgabe * (5 Punkte)

Finde ein primitives Element in ${}\mathbb {Z} /(11)$ und in ${}\mathbb {Z} /(121)$. Man gebe ferner ein Element der Ordnung ${}10$ und ein Element der Ordnung ${}11$ in ${}\mathbb {Z} /(121)$ an. Gibt es Elemente der Ordnung ${}10$ und der Ordnung ${}11$ auch in ${}{\mathbb {F} }_{121}$?

Aufgabe * (2 Punkte)

Finde drei Quadratzahlen

${}u^{2}<v^{2}<w^{2}\,$

derart, dass der Abstand von ${}u^{2}$ zu ${}v^{2}$ gleich dem Abstand von ${}v^{2}$ zu ${}w^{2}$ ist.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich. Zeige unter Verwendung der Norm, dass jedes Element ${}f\in R$, ${}f\neq 0$, eine Faktorisierung in irreduzible Elemente besitzt.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass der Körper der rationalen Zahlen ${}\mathbb {Q}$ überabzählbar viele Unterringe besitzt.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei ${}R=A_{14}=\mathbb {Z} [{\sqrt {14}}]$ der quadratische Zahlbereich zu ${}D=14$. Berechne zu

${}q={\frac {3}{5}}-{\frac {1}{7}}{\sqrt {14}}\,$

den zugehörigen Hauptdivisor.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}D\neq 0,1$ eine quadratfreie Zahl und sei ${}A_{D}$ ein quadratischer Zahlbereich. Definiere die Konjugation zu einem Element ${}f\in \mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]$ und zu einem Element ${}f\in A_{D}$. Definiere zu einem Ideal ${}{\mathfrak {a}}\neq 0$ das konjugierte Ideal ${}{\overline {\mathfrak {a}}}$ und zeige, dass es sich um ein Ideal handelt. Zeige, dass ${}{\mathfrak {a}}$ und ${}{\overline {\mathfrak {a}}}$ in der Klassengruppe invers zueinander sind.

Aufgabe * (5 (3+2) Punkte)

Wir betrachten den quadratischen Zahlbereich zu ${}D=5$.

1. Zeige unter Verwendung von Fakt, dass ${}A_{5}$ faktoriell ist.
2. Sieht nicht die Gleichung

   ${}-{\left(1+{\sqrt {5}}\right)}{\left(1-{\sqrt {5}}\right)}=4=2\cdot 2\,$

   wie eine Zerlegung in wesentlich verschiedene irreduzible Elemente aus? Wie lautet die Primfaktorzerlegung von ${}4$ in ${}A_{5}$?