Endomorphismus/Eigenräume/Beziehungen/Textabschnitt

Wir haben in Fakt gesehen, dass der Eigenraum zu ${}0$ der Kern des Endomorphismus ist. Wesentlich allgemeiner als in Fakt gilt die folgende Charakterisierung.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$ -Vektorraum und

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung. Es sei ${}\lambda \in K$ .

Dann ist

${}\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}=\operatorname {kern} {\left(\lambda \cdot \operatorname {Id} _{V}-\varphi \right)}\,.$

Es sei ${}v\in V$ . Dann ist ${}v\in \operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}$ genau dann, wenn ${}\varphi (v)=\lambda v$ ist, und dies ist genau bei ${}\lambda v-\varphi (v)=0$ der Fall, was man als ${}{\left(\lambda \cdot \operatorname {Id} _{V}-\varphi \right)}(v)=0$ schreiben kann.

\Box

Insbesondere ist ein ${}\lambda \in K$ genau dann ein Eigenwert von ${}\varphi$ , wenn ${}\lambda \operatorname {Id} _{V}-\varphi$ nicht injektiv ist. Für ein gegebenes ${}\lambda$ lässt sich diese Eigenschaft einfach mit Hilfe eines linearen Gleichungssystems (oder der Determinante) überprüfen und ebenso der Eigenraum berechnen. Dagegen ist es kein lineares Problem, zu entscheiden, ob ${}\varphi$ überhaupt Eigenwerte besitzt und diese zu bestimmen. Wir werden weiterhin eine lineare Abbildung ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ dadurch untersuchen, dass wir die Differenzen zu den Streckungen ${}\lambda \operatorname {Id} _{V}-\varphi$ für verschiedene ${}\lambda$ betrachten.

Bei einer ${}n\times n$ -Matrix ${}M$ muss man den Kern der Matrix ${}\lambda E_{n}-M$ bestimmen. Wenn man beispielsweise wissen möchte, ob die Matrix ${}{\begin{pmatrix}4&7\\-2&5\end{pmatrix}}$ den Eigenwert ${}3$ besitzt, so sieht man anhand von

{}3E_{2}-{\begin{pmatrix}4&7\\-2&5\end{pmatrix}}=3{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}4&7\\-2&5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&-7\\2&-2\end{pmatrix}}\,

sofort, dass dies nicht der Fall ist.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$ -Vektorraum und

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung. Es seien ${}\lambda _{1}\neq \lambda _{2}$ Elemente in ${}K$ .

Dann ist

${}\operatorname {Eig} _{\lambda _{1}}{\left(\varphi \right)}\cap \operatorname {Eig} _{\lambda _{2}}{\left(\varphi \right)}=0\,.$

Beweis

Es sei ${}v\in \operatorname {Eig} _{\lambda _{1}}{\left(\varphi \right)}\cap \operatorname {Eig} _{\lambda _{2}}{\left(\varphi \right)}$ . Dann ist

{}\lambda _{1}v=\varphi (v)=\lambda _{2}v\,.

Also ist

{}(\lambda _{1}-\lambda _{2})v=0\,,

woraus wegen ${}\lambda _{1}\neq \lambda _{2}$ direkt ${}v=0$ folgt.

\Box

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$ -Vektorraum und

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung. Es seien ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ Eigenvektoren zu (paarweise) verschiedenen Eigenwerten ${}\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\in K$ .

Dann sind ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ linear unabhängig.

Beweis

Wir beweisen die Aussage durch Induktion nach ${}n$ . Für ${}n=0$ ist die Aussage richtig. Es sei die Aussage also für weniger als ${}n$ Vektoren bewiesen. Betrachten wir eine Darstellung der ${}0$ , also

{}a_{1}v_{1}+\cdots +a_{n}v_{n}=0\,.

Wir wenden darauf ${}\varphi$ an und erhalten einerseits

{}a_{1}\varphi (v_{1})+\cdots +a_{n}\varphi (v_{n})=\lambda _{1}a_{1}v_{1}+\cdots +\lambda _{n}a_{n}v_{n}=0\,.

Andererseits multiplizieren wir die obige Gleichung mit ${}\lambda _{n}$ und erhalten

{}\lambda _{n}a_{1}v_{1}+\cdots +\lambda _{n}a_{n}v_{n}=0\,.

Die so entstandenen Gleichungen zieht man voneinander ab und erhält

{}(\lambda _{n}-\lambda _{1})a_{1}v_{1}+\cdots +(\lambda _{n}-\lambda _{n-1})a_{n-1}v_{n-1}=0\,.

Aus der Induktionsvoraussetzung folgt, dass alle Koeffizienten ${}(\lambda _{n}-\lambda _{i})a_{i}=0$ , ${}i=1,\ldots ,n-1$ , sein müssen. Wegen ${}\lambda _{n}-\lambda _{i}\neq 0$ folgt ${}a_{i}=0$ für ${}i=1,\ldots ,n-1$ und wegen ${}v_{n}\neq 0$ ist dann auch ${}a_{n}=0$ .