Es sei
-

das
charakteristische Polynom,
das nach
Fakt
in Linearfaktoren zerfällt, wobei die
verschieden seien. Wir führen Induktion über
. Bei
gibt es nur einen Eigenwert
und nur einen Hauptraum. Nach
Fakt
ist dann auch das Minimalpolynom von der Form
und daher ist
.
Es sei die Aussage nun für kleineres
bewiesen. Wir setzen
und
und sind damit in der Situation von
Fakt
und
Fakt.
Wir haben also eine direkte Summenzerlegung in
-invariante
Untervektorräume
-

Das charakteristische Polynom ist nach
Fakt
das Produkt der charakteristischen Polynome der Einschränkungen auf die beiden Räume. Nach
Fakt
ist
das charakteristische Polynom der Einschränkung von
auf den ersten Hauptraum, daher muss
das charakteristische Polynom der Einschränkung auf
sein. Das heißt insbesondere, dass diese Einschränkung ebenfalls trigonalisierbar ist. Nach der Induktionsvoraussetzung ist also
die direkte Summe der Haupträume zu
und daraus ergibt sich insgesamt die direkte Summenzerlegung für
und für
.