Euklidischer Raum/Kanonisches Volumen/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}u_{1},\ldots ,u_{n}$ eine Orthonormalbasis von ${}V$ und es sei

$L_{u}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow V,\,e_{i}\longmapsto u_{i},$

die dadurch definierte lineare Isometrie. Dann ist das Bildmaß ${}L_{u*}\lambda ^{n}$ nach Fakt translationsinvariant und besitzt auf dem von den ${}u_{1},\ldots ,u_{n}$ erzeugten Parallelotop den Wert ${}1$. Es bleibt also zu zeigen, dass dieses Maß auch jedem anderen orthonormalen Parallelotop den Wert ${}1$ zuweist. Es sei also ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine weitere Orthonormalbasis mit dem zugehörigen Parallelotop ${}P_{v}$ und der zugehörigen Isometrie

$L_{v}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow V,\,e_{i}\longmapsto v_{i}.$

Dann ist

${}L_{u}^{-1}(P_{v})={\left(L_{v}^{-1}\circ L_{u}\right)}^{-1}{\left(L_{v}^{-1}(P_{v})\right)}={\left(L_{v}^{-1}\circ L_{u}\right)}^{-1}(E)\,,$

wobei ${}E$ den Einheitswürfel im ${}\mathbb {R} ^{n}$ bezeichnet. Da ${}L_{v}^{-1}\circ L_{u}$ eine Isometrie des ${}\mathbb {R} ^{n}$ ist, folgt die Aussage aus Fakt.

Zur bewiesenen Aussage