Es sei
eine
Orthonormalbasis
von
und es sei
-
die dadurch definierte
lineare Isometrie.
Dann ist das
Bildmaß
nach
Fakt
translationsinvariant
und besitzt auf dem von den
erzeugten Parallelotop den Wert
. Es bleibt also zu zeigen, dass dieses Maß auch jedem anderen orthonormalen Parallelotop den Wert
zuweist. Es sei also
eine weitere Orthonormalbasis mit dem zugehörigen Parallelotop
und der zugehörigen
Isometrie
-
Dann ist
-
![{\displaystyle {}L_{u}^{-1}(P_{v})={\left(L_{v}^{-1}\circ L_{u}\right)}^{-1}{\left(L_{v}^{-1}(P_{v})\right)}={\left(L_{v}^{-1}\circ L_{u}\right)}^{-1}(E)\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66d7ff2948fae38afec36fa309a2d1b2c97c1a5f)
wobei
den Einheitswürfel im
bezeichnet. Da
eine Isometrie des
ist, folgt die Aussage aus
Fakt.