Glatte projektive Kurve/Lokal freie Garbe/Filtration/Fakt/Beweis

Beweis

Zur dualen Garbe ${}{\mathcal {F}}^{*}$ gibt es für ${}n$ hinreichend groß nach Fakt einen nichttrivialen globalen Schnitt ${}s\in \Gamma {\left(C,{\mathcal {F}}^{*}(n)\right)}$, der einem nichttrivialen Modulhomomorphismus

${\mathcal {O}}_{C}\longrightarrow {\mathcal {F}}^{*}(n)$

entspricht. Dualisiert ergibt sich ein nichttrivialer Modulhomomorphismus

${\mathcal {F}}(-n)\longrightarrow {\mathcal {O}}_{C}.$

Das Bild davon ist eine Idealgarbe ${}{\mathcal {I}}\neq 0$, die nach Fakt invertierbar ist. Es gibt also einen surjektiven Garbenhomomorphismus

${\mathcal {F}}(-n)\longrightarrow {\mathcal {I}}$

und damit auch einen surjektiven Garbenhomomorphismus

${\mathcal {F}}\longrightarrow {\mathcal {I}}\otimes {\mathcal {O}}_{C}(n):={\mathcal {L}}.$

Da ${}{\mathcal {L}}$ invertierbar ist, ist der Kern ${}{\mathcal {G}}\subset {\mathcal {F}}$ nach Fakt lokal frei, und zwar von einem kleineren Rang. Induktive Anwendung dieses Verfahrens auf ${}{\mathcal {F}}_{r-1}:={\mathcal {G}}$ liefert die Filtration.

Zur bewiesenen Aussage