Implizite Abbildung/R/Bemerkungen und Beispiele/Tangentialraum/Textabschnitt

Bemerkung  

Den Satz über implizite Abbildungen kann man auch so formulieren: Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale reelle Vektorräume, ${}G\subseteq V$ offen und es sei ${}\varphi \colon G\rightarrow W$ eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei ${}a\in G$ ein Punkt, in dem das totale Differential ${}\left(D\varphi \right)_{a}$ surjektiv sei, und es sei ${}V=E_{1}\oplus E_{2}$ eine direkte Summenzerlegung von ${}V$ in Untervektorräume ${}E_{1}$ und ${}E_{2}$ (mit ${}a=(a_{1},a_{2})$) derart, dass ${}E_{1}=\operatorname {kern} \left(D\varphi \right)_{a}$ und ${}\left(D\varphi \right)_{a}|_{E_{2}}$ surjektiv (und damit bijektiv ist) ist (dadurch ist ${}E_{1}$, aber nicht ${}E_{2}$ eindeutig festgelegt). Dann gibt es offene Mengen ${}a_{1}\in U_{1}\subseteq E_{1}$ und ${}a_{2}\in U_{2}\subseteq E_{2}$ mit ${}U_{1}\times U_{2}\subseteq G$ und eine stetig differenzierbare Abbildung

$\theta \colon U_{1}\longrightarrow U_{2}$

derart, dass der Graph von ${}\theta$, also

${}\Gamma ={\left\{(x,\theta (x))\mid x\in U_{1}\right\}}\,,$

mit der Faser über ${}b=\varphi (a)$, geschnitten mit ${}U_{1}\times U_{2}$, also

${\left\{(x,v)\in U_{1}\times U_{2}\mid \varphi (x,v)=b\right\}},$

übereinstimmt. Sind auf ${}E_{1}$ und ${}E_{2}$ jeweils Basen fixiert mit Koordinaten ${}(x_{1},\ldots ,x_{n-m})$ bzw. ${}(v_{1},\ldots ,v_{m})$ (${}n$ und ${}m$ seien die Dimensionen von ${}V$ und ${}W$), so wird lokal die Faser durch den Graphen von ${}m$ Funktionen ${}\theta _{1},\ldots ,\theta _{m}$ in den ${}n-m$ Variablen ${}(x_{1},\ldots ,x_{n-m})$ gegeben. Die Faser ist dann nach den Variablen ${}(v_{1},\ldots ,v_{m})$ „aufgelöst“, d.h. diese Koordinaten lassen sich unter der impliziten Bedingung, dass die Punkte zur Faser gehören sollen, explizit durch die anderen, frei wählbaren Koordinaten ${}(x_{1},\ldots ,x_{n-m})$ ausdrücken.

Definition

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale reelle Vektorräume, es sei ${}G\subseteq V$ offen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow W$

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei ${}P\in G$ ein Punkt, in dem das totale Differential ${}\left(D\varphi \right)_{P}$ surjektiv sei, und sei ${}Y$ die Faser von ${}\varphi$ durch ${}P$. Dann nennt man

${}T_{P}Y:=\operatorname {kern} \left(D\varphi \right)_{P}={\left\{v\in V\mid {\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}=0\right\}}\,$

den Tangentialraum an die Faser ${}Y$ in ${}P$.

Häufig wird auch der an ${}P$ angelegte affine Raum

${}P+\operatorname {kern} \left(D\varphi \right)_{P}={\left\{P+v\mid {\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}=0\right\}}\,$

als Tangentialraum bezeichnet. In diesem Sinne ist der Tangentialraum kein Untervektorraum von ${}V$, da er nicht durch den Nullpunkt verlaufen muss, er ist aber die Verschiebung eines Untervektorraums. Solche Räume nennt man affin-lineare Unterräume. Sie besitzen eine sinnvoll definierte Dimension, nämlich die Dimension des zugehörigen Vektorraumes. Der Tangentialraum an einem regulären Punkt zu einer Abbildung ${}\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ besitzt die Dimension ${}n-m$. Der Satz über implizite Abbildungen besagt, dass eine offene Teilmenge des Tangentialraumes an ${}P$ sich bijektiv und differenzierbar auf eine offene Umgebung von ${}P$ auf der Faser abbilden lässt. Der Tangentialraum ist also eine lineare Approximation der Faser.

Beispiel

Wir betrachten die differenzierbare Funktion

$\varphi \colon \mathbb {R} \times (\mathbb {R} \setminus \{0\})\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto {\frac {x}{y}}.$

Die Jacobi-Matrix dieser Funktion ist

${\left({\frac {1}{y}},-{\frac {x}{y^{2}}}\right)},$

sodass die Funktion in jedem Punkt regulär ist und der Satz über implizite Abbildungen anwendbar ist. In diesem Fall kann man die Fasern auch direkt bestimmen. Die Bedingung

${}{\frac {x}{y}}=c\,$

mit ${}c\in \mathbb {R}$ führt auf ${}x=cy$, sodass die Fasern der Abbildung die punktierten Geraden (d.h. ein Punkt ist rausgenommen) durch den Nullpunkt sind (außer der ${}x$-Achse, auf der die Abbildung nicht definiert ist). Damit hat man explizit eine Auflösung der Faser nach ${}x$ gegeben. Dass die Fasern unter dieser Divisionsabbildung (punktierte) Geraden sind ist ein Ausdruck davon, dass man Brüche erweitern kann, ohne ihren Wert zu ändern.

Der Tangentialraum in ${}P=(x,y)$ wird nach der Definition durch den Kern der Jacobi-Matrix gegeben, und dieser wird durch den Vektor ${}(x,y)$ selbst aufgespannt. Der Tangentialraum an ${}P$ ist hier also die Gerade, die durch ${}P$ und den Nullpunkt definiert ist, und stimmt (bis auf den Nullpunkt) mit der Faser überein.

Beispiel

Die Fasern der Abbildung $(x,y)\mapsto x^{y}$ für ${}c=e$ (rot) und ${}c=-e$ (grün).

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{y}$

und knüpfen an Beispiel an. Der einzige kritische Punkt ist ${}P=(1,0)$, ansonsten ist die Abbildung in jedem Punkt regulär und daher lassen sich lokal die Fasern als Graphen beschreiben. Die Faser über ${}1$ besteht aus der durch ${}x=1$ gegebenen Geraden und der durch ${}y=0$ gegebenen Halbgeraden, die sich im kritischen Punkt senkrecht schneiden. Ansonsten sind die Fasern durch die Gleichung

${}x^{y}=c\,$

mit einem ${}c\in \mathbb {R} _{+}$, ${}c\neq 1$, bestimmt (für nichtpositives ${}c$ sind die Fasern leer). Wir schreiben diese Bedingung als ${}e^{(\ln x)y}=c$ und daher als

${}(\ln x)y=\ln c\,.$

Wegen ${}x\neq 1$ kann man dies zu ${}y={\frac {\ln c}{\ln x}}$ auflösen und wegen ${}y\neq 0$ zu

${}x=e^{\frac {\ln c}{y}}\,.$

Die Faser besteht jeweils aus zwei Komponenten, die ${}x>1$ bzw. ${}x<1$ entsprechen.