Kompakte Teilmengen/Integration/Fubini/Textabschnitt

Satz

Es sei

$f\colon [a,b]\times [c,d]\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion.

Dann gilt

${}\int _{[a,b]\times [c,d]}fd\lambda ^{2}=\int _{a}^{b}{\left(\int _{c}^{d}f(x,y)d\lambda ^{1}\right)}d\lambda ^{1}=\int _{c}^{d}{\left(\int _{a}^{b}f(x,y)d\lambda ^{1}\right)}d\lambda ^{1}\,.$

Beweis

Der Querschnitt des Subgraphen zu ${}x=x_{0}$ ist der Subgraph der auf ${}x=x_{0}$ eingeschränkten Funktion, also

${\left\{(x_{0},y,z)\mid 0\leq z\leq f(x_{0},y),\,c\leq y\leq d\right\}}.$

Sein Flächeninhalt ist ${}\int _{c}^{d}f(x_{0},y)dy$, und dieser Flächeninhalt hängt selbst stetig von ${}x_{0}$ ab Daher ergibt sich die Aussage aus dem Cavalieri-Prinzip.

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Zumeist schreibt man in der vorstehenden Situation ${}\int _{a}^{b}{\left(\int _{c}^{d}f(x,y)dy\right)}dx$.

Beispiel

Wir wollen das Integral der Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}-xy+2y^{3},$

über dem Rechteck ${}Q=[-2,1]\times [0,2]$ mit dem Satz von Fubini ausrechnen. Dies führt auf

${}{\begin{aligned}\int _{Q}f\,d\lambda ^{2}&=\int _{0}^{2}{\left(\int _{-2}^{1}{\left(x^{2}-xy+2y^{3}\right)}\,dx\right)}\,dy\\&=\int _{0}^{2}{\left({\left({\frac {1}{3}}x^{3}-{\frac {1}{2}}x^{2}y+2y^{3}x\right)}|_{-2}^{1}\right)}dy\\&=\int _{0}^{2}{\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{2}}y+2y^{3}+{\frac {8}{3}}+2y+4y^{3}\right)}\,dy\\&=\int _{0}^{2}{\left(3+{\frac {3}{2}}y+6y^{3}\right)}\,dy\\&={\left(3y+{\frac {3}{4}}y^{2}+{\frac {3}{2}}y^{4}\right)}|_{0}^{2}\\&=6+3+24\\&=33.\end{aligned}}$

Korollar

Es seien

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

und

$g\colon [c,d]\longrightarrow \mathbb {R}$

stetige Funktionen.

Dann gilt

${}\int _{[a,b]\times [c,d]}fgd\lambda ^{2}={\left(\int _{a}^{b}f(x)dx\right)}\cdot {\left(\int _{c}^{d}g(y)dy\right)}\,.$

Beweis

Nach Fakt ist

${}{\begin{aligned}\int _{[a,b]\times [c,d]}fgd\lambda ^{2}&=\int _{a}^{b}{\left(\int _{c}^{d}f(x)g(y)dy\right)}dx\\&=\int _{a}^{b}f(x){\left(\int _{c}^{d}g(y)dy\right)}dx\\&={\left(\int _{c}^{d}g(y)dy\right)}\cdot {\left(\int _{a}^{b}f(x)dx\right)}.\end{aligned}}$

$\Box$