Kompakter Raum/Stetige Abbildung/Dini/Textabschnitt

Lemma

Es seien ${}X$ und ${}Y$ topologische Räume und es sei

\varphi \colon X\longrightarrow Y

eine stetige Abbildung. Es sei ${}X$ kompakt.

Dann ist das Bild ${}\varphi (X)\subseteq Y$ ebenfalls kompakt ist.

Beweis

Siehe Aufgabe.

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Die folgende Aussage ist eine wesentliche Verallgemeinerung von Fakt und von Fakt.

Satz

Es sei ${}X$ ein nichtleerer kompakter topologischer Raum und sei

f\colon X\longrightarrow \mathbb {R}

eine stetige Funktion.

Dann gibt es ein ${}x\in X$ mit

$f(x)\geq f(x'){\text{ für alle }}x'\in X.$

D.h., dass die Funktion ihr Maximum (und ihr Minimum) annimmt.

Aufgrund von Fakt ist ${}f(X)\subseteq \mathbb {R}$ kompakt, also nach Fakt abgeschlossen und beschränkt. Insbesondere ist ${}f(X)\leq M$ für eine reelle Zahl ${}M$ . Wegen ${}X\neq \emptyset$ besitzt ${}f(X)$ wegen Fakt ein Supremum ${}s$ in ${}\mathbb {R}$ , das wegen der Abgeschlossenheit nach Fakt zu ${}f(X)$ gehört, also das Maximum von ${}f(X)$ ist. Daher gibt es auch ein ${}x\in X$ mit ${}f(x)=s$ .

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Bemerkung

Es sei ${}X$ ein kompakter topologischer Raum. Aufgrund von Fakt ist jede stetige Funktion

f\colon X\longrightarrow \mathbb {R}

beschränkt, und damit stimmt der Vektorraum ${}C(X,\mathbb {R} )$ aller stetigen Funktionen mit dem Vektorraum ${}C^{b}(X,\mathbb {R} )$ aller stetigen und beschränkten Funktionen überein. Bei ${}X\neq \emptyset$ gibt es auf ${}C^{b}(X,\mathbb {R} )$ stets die Supremumsnorm, die im kompakten Fall wieder wegen Fakt zur Maximumsnorm wird, da das Supremum angenommen wird.

Die folgende Aussage heißt Satz von Dini.

Satz

Es sei ${}X$ ein kompakter topologischer Raum. Es sei ${}{\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}C(X,\mathbb {R} )$ , die punktweise und monoton gegen ein ${}f\in C(X,\mathbb {R} )$ konvergiert.