Komplettierung/Noetherscher Ring/Flach/Textabschnitt

Lemma

Es sei ${}R$ ein noetherscher Ring und ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal.

Es sei

0\longrightarrow M\longrightarrow N\longrightarrow P\longrightarrow 0

eine kurze exakte Sequenz von endlich erzeugten ${}R$ -Moduln.

Dann ist die Sequenz

$0\longrightarrow {\hat {M}}\longrightarrow {\hat {N}}\longrightarrow {\hat {P}}\longrightarrow 0$

ebenfalls exakt.

Beweis

Für jedes ${}n\in \mathbb {N}$ ist die Sequenz

M/{\mathfrak {a}}^{n}M\longrightarrow N/{\mathfrak {a}}^{n}N\longrightarrow P/{\mathfrak {a}}^{n}P\longrightarrow 0

nach Fakt exakt.

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Satz

Es sei ${}R$ ein noetherscher Ring und ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal. Es sei ${}M$ ein endlich erzeugter ${}R$ -Modul.

Dann ist

${}{\hat {M}}\cong M\otimes _{R}{\hat {R}}\,,$

wobei ${}R$ bezüglich ${}{\mathfrak {a}}$ und ${}M$ bezüglich ${}{\mathfrak {a}}M$ komplettiert wird.

Beweis

Wir betrachten die natürlichen Abbildungen

M\otimes _{R}{\hat {R}}\longrightarrow {\hat {M}}

von Fakt. Für ${}M=R$ ist dies ein Isomorphismus. Daraus folgt nach Fakt (3) und Fakt, dass auch für freie Moduln endlichen Ranges ein Isomorphismus vorliegt. Einen beliebigen endlich erzeugten Modul ${}M$ kann man in der Form

E\longrightarrow F\longrightarrow M\longrightarrow 0

repräsentieren, wobei ${}E,F$ freie Moduln endlichen Ranges sind. Daraus erhalten wir mit Hilfe von Fakt bzw. Fakt die exakten Zeilen im folgenden Diagramm

{\begin{matrix}E\otimes _{R}{\hat {R}}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&F\otimes _{R}{\hat {R}}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&M\otimes _{R}{\hat {R}}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&0&\\\!\!\!\!\!\cong \downarrow &&\!\!\!\!\!\cong \downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\{\hat {E}}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&{\hat {F}}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&{\hat {M}}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&0&\!\!\!\!\!.\\\end{matrix}}

Es ist zu zeigen, dass die vertikale Abbildung rechts bijektiv ist. Zum Nachweis der Surjektivität sei ${}v\in {\hat {M}}$ . Dieses rührt von einem ${}v'\in {\hat {F}}$ her und dieses entspricht einem ${}u\in F\otimes _{R}{\hat {R}}$ . Dessen Bild in ${}M\otimes _{R}{\hat {R}}$ wird dann wegen der Kommutativität auf ${}v$ abgebildet.

Zum Nachweis der Injektivität sei ${}u\in M\otimes _{R}{\hat {R}}$ ein Element, das auf ${}0$ abgebildet wird. Es gibt ein ${}u'\in F\otimes _{R}{\hat {R}}$ , das auf ${}u$ abbildet. Dieses ${}u'$ entspricht einem ${}v'\in {\hat {F}}$ . Da dieses auf ${}0$ abbildet, gibt es ein ${}v^{\prime \prime }\in {\hat {E}}$ , das auf ${}v'$ abbildet. Das entsprechende Element ${}u^{\prime \prime }\in E\otimes _{R}{\hat {R}}$ bildet auf ${}u'$ ab und daher muss dieses auf ${}0$ abbilden, also ist ${}u=0$ und die Abbildung ist injektiv.