Komplexe und reelle Partialbruchzerlegung/Textabschnitt

Die Partialbruchzerlegung liefert eine wichtige Darstellungsform für eine rationale Funktion ${}P/Q$ , bei der die Nenner besonders einfach werden. Wir beginnen mit dem Fall ${}K={\mathbb {C} }$ , wo wir den Fundamentalsatz der Algebra zur Verfügung haben.

Satz

Es seien ${}P,Q\in {\mathbb {C} }[X]$ , ${}Q\neq 0$ , Polynome und es sei

{}Q=(X-a_{1})^{r_{1}}\cdots (X-a_{s})^{r_{s}}\,

mit verschiedenen ${}a_{i}\in {\mathbb {C} }$ .

Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes Polynom ${}H\in {\mathbb {C} }[X]$ und eindeutig bestimmte Koeffizienten ${}c_{ij}\in {\mathbb {C} }$ , ${}1\leq i\leq s$ , ${}1\leq j\leq r_{i}$ , mit

${}{\frac {P}{Q}}=H+{\frac {c_{11}}{X-a_{1}}}+{\frac {c_{12}}{(X-a_{1})^{2}}}+\cdots +{\frac {c_{1r_{1}}}{(X-a_{1})^{r_{1}}}}+\cdots +{\frac {c_{s1}}{X-a_{s}}}+{\frac {c_{s2}}{(X-a_{s})^{2}}}+\cdots +{\frac {c_{sr_{s}}}{(X-a_{s})^{r_{s}}}}\,.$

Beweis

Die Division mit Rest liefert eine eindeutige Darstellung

{}{\frac {P}{Q}}=H+{\frac {\tilde {P}}{Q}}\,

mit ${}\operatorname {grad} \,({\tilde {P}})<\operatorname {grad} \,(Q)$ . Wir müssen daher die Aussage nur für Quotienten aus Polynomen zeigen, bei denen der Grad des Zählerpolynoms kleiner als der Grad des Nennerpolynoms ist. Wir führen Induktion über den Grad ${}r=\sum _{i=1}^{s}r_{i}$ des Nennerpolynoms. Bei ${}r=0,1$ ist nichts zu zeigen, denn der Quotient steht bereits in der gewünschten Form. Es sei nun ${}Q$ ein Nennerpolynom vom Grad ${}r$ und die Aussage sei für kleineren Grad bereits bewiesen. Es sei ${}X-a_{1}$ ein Linearfaktor von ${}Q$ , so dass wir

{}Q={\tilde {Q}}(X-a_{1})\,

schreiben können, wobei ${}{\tilde {Q}}$ den Grad ${}r-1$ besitzt. Die Ordnung von ${}X-a_{1}$ in ${}Q$ sei ${}r_{1}$ . Wir setzen

{}{\frac {P}{Q}}={\frac {c_{1r_{1}}}{(X-a_{1})^{r_{1}}}}+{\frac {\tilde {P}}{\tilde {Q}}}\,

an. Dies führt auf

{}P=c_{1r_{1}}(X-a_{2})^{r_{2}}\cdots (X-a_{s})^{r_{s}}+{\tilde {P}}(X-a_{1})\,,

aus der wir ${}c_{1r_{1}}$ und ${}{\tilde {P}}$ bestimmen wollen. Da die Gleichheit insbesondere für ${}X=a_{1}$ gelten soll, muss

{}c_{1r_{1}}={\frac {P(a_{1})}{(a_{1}-a_{2})^{r_{2}}\cdots (a_{1}-a_{s})^{r_{s}}}}\,

sein, wobei diese Division erlaubt ist, da die ${}a_{i}$ als verschieden vorausgesetzt worden sind. Wir betrachten nun

P-c_{1r_{1}}(X-a_{2})^{r_{2}}\cdots (X-a_{s})^{r_{s}}

mit dem soeben bestimmten Wert ${}c_{1r_{1}}$ . Für diese Differenz ist dann ${}a_{1}$ nach Konstruktion eine Nullstelle, so dass man nach Fakt durch ${}X-a_{1}$ teilen kann, also

{}P-c_{1r_{1}}(X-a_{2})^{r_{2}}\cdots (X-a_{s})^{r_{s}}=(X-a_{1}){\tilde {P}}\,

erhält. Dadurch ist ${}{\tilde {P}}$ eindeutig festgelegt. Der Grad von ${}{\tilde {P}}$ ist kleiner als der Grad von ${}P$ und daher ist der Grad von ${}{\tilde {P}}$ auch kleiner als der Grad von ${}{\tilde {Q}}$ . Daher können wir auf ${}{\frac {\tilde {P}}{\tilde {Q}}}$ die Induktionsvoraussetzung anwenden.

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Wir wenden uns nun der reellen Situation zu.

Satz

Es seien ${}P,Q\in \mathbb {R} [X]$ , ${}Q\neq 0$ , Polynome und es sei

Q=(X-a_{1})^{r_{1}}\cdots (X-a_{s})^{r_{s}}Q_{1}^{t_{1}}\cdots Q_{u}^{t_{u}}

mit verschiedenen ${}a_{i}\in \mathbb {R}$ und verschiedenen quadratischen Polynomen ${}Q_{k}$ ohne reelle Nullstellen.

Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes Polynom ${}H\in \mathbb {R} [X]$ und eindeutig bestimmte Koeffizienten ${}c_{ij}\in \mathbb {R}$ , ${}1\leq i\leq s$ , ${}1\leq j\leq r_{i}$ , und eindeutig bestimmte lineare Polynome ${}L_{k\ell }=d_{k\ell }X+e_{k\ell }$ , ${}1\leq k\leq u$ , ${}1\leq \ell \leq t_{k}$ , mit

${}{\begin{aligned}{\frac {P}{Q}}&=H+{\frac {c_{11}}{X-a_{1}}}+{\frac {c_{12}}{(X-a_{1})^{2}}}+\cdots +{\frac {c_{1r_{1}}}{(X-a_{1})^{r_{1}}}}+\cdots +{\frac {c_{s1}}{X-a_{s}}}+{\frac {c_{s2}}{(X-a_{s})^{2}}}+\cdots +{\frac {c_{sr_{s}}}{(X-a_{s})^{r_{s}}}}\\&\,\,\,+{\frac {L_{11}}{Q_{1}}}+{\frac {L_{12}}{Q_{1}^{2}}}+\cdots +{\frac {L_{1t_{1}}}{Q_{1}^{t_{1}}}}+\cdots +{\frac {L_{u1}}{Q_{u}}}+{\frac {L_{u2}}{Q_{u}^{2}}}+\cdots +{\frac {L_{ut_{u}}}{Q_{u}^{t_{u}}}}.\end{aligned}}$

Beweis

Wir gehen von der komplexen Partialbruchzerlegung von ${}P/Q$ aus. Die reell quadratischen Polynome ${}Q_{k}$ zerfallen komplex als

{}Q_{k}=(X-z)(X-{\overline {z}})\,

mit ${}z=z_{k}\in {\mathbb {C} }$ . In der komplexen Partialbruchzerlegung betrachten wir die Teilsumme

{\frac {c}{(X-z)^{\ell }}}+{\frac {d}{(X-{\overline {z}})^{\ell }}}

mit ${}c,d\in {\mathbb {C} }$ . Wenn man auf die gesamte komplexe Partialbruchzerlegung die komplexe Konjugation anwendet, so bleibt der reelle Quotient ${}{\frac {P}{Q}}$ unverändert, so dass auch die Partialbruchzerlegung in sich überführt wird. Daher müssen ${}c$ und ${}d$ zueinander konjugiert sein und die obige Teilsumme ist daher

{}{\frac {c}{(X-z)^{\ell }}}+{\frac {\overline {c}}{(X-{\overline {z}})^{\ell }}}={\frac {c(X-{\overline {z}})^{\ell }+{\overline {c}}(X-z)^{\ell }}{(X-z)^{\ell }(X-{\overline {z}})^{\ell }}}={\frac {S}{Q_{k}^{\ell }}}\,,

wobei das Zählerpolynom ${}S$ reell ist, da es invariant unter der komplexen Konjugation ist. Dieses Zählerpolynom ist im Allgemeinen nicht linear, wir werden aber zeigen, dass man weiter auf lineare Zählerpolynome reduzieren kann. Der Grad von ${}S$ ist kleiner als der Grad des Nennerpolynoms. Durch sukzessive Division mit Rest von ${}S$ durch ${}Q_{k}$ erhält man

{}S=L_{0}+L_{1}Q_{k}+L_{2}Q_{k}^{2}+\cdots +L_{{\ell }-1}Q_{k}^{{\ell }-1}\,

mit linearen (reellen) Polynomen ${}L_{i}$ . Daher ist

{}{\frac {S}{Q_{k}^{\ell }}}={\frac {L_{0}+L_{1}Q_{k}+L_{2}Q_{k}^{2}+\cdots +L_{\ell -1}Q_{k}^{{\ell }-1}}{Q_{k}^{\ell }}}={\frac {L_{0}}{Q_{k}^{\ell }}}+{\frac {L_{1}}{Q_{k}^{{\ell }-1}}}+\cdots +{\frac {L_{{\ell }-2}}{Q_{k}^{2}}}+{\frac {L_{{\ell }-1}}{Q_{k}}}\,.

Wenn man alles aufsummiert, so erhält man insgesamt die Existenz der reellen Partialbruchzerlegung. Für die Eindeutigkeit siehe Aufgabe.

\Box

Neben dem Umweg über die komplexe Partialbruchzerlegung gibt es weitere Methoden, in Beispielen die reelle Partialbruchzerlegung zu bestimmen. Grundsätzlich bedeutet das Bestimmen der (reellen oder komplexen) Koeffizienten in der Partialbruchzerlegung, ein (inhomogenes) lineares Gleichungssystem zu lösen, wobei man sowohl durch Koeffizientenvergleich als auch durch das Einsetzen von bestimmten Zahlen zu hinreichend vielen linearen Gleichungen kommt.