Konstruierbare Erweiterung/Galoistheoretische Charakterisierung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei also eine Galoiserweiterung ${}K\subseteq M$ mit ${}z\in M$ gegeben, deren Grad eine Zweierpotenz ${}2^{r}$ ist. Wir zeigen durch Induktion nach ${}r$, dass es eine Filtration der Körpererweiterung durch quadratische Körpererweiterungen gibt (also ohne direkten Bezug auf ein ${}z$.). Dabei ist der Fall ${}r=0$ trivial. Es sei also ${}\operatorname {grad} _{K}M=2^{r}$ ($r\geq 1$) und die Existenz von Körperketten für kleinere Exponenten bereits bewiesen. Nach Fakt ist dann auch die Ordnung der Galoisgruppe ${}G=\operatorname {Gal} \,(M{|}K)$ gleich ${}2^{r}$. Aufgrund von Fakt gibt es ein nichttriviales Zentrum ${}Z\subseteq G$, so dass es nach dem Hauptsatz für endliche abelsche Gruppen auch eine Untergruppe ${}H\subseteq Z$ mit zwei Elementen gibt. Als Untergruppe des Zentrums ist ${}H$ ein Normalteiler in ${}G$. Wir betrachten ${}L=\operatorname {Fix} \,(H)\subseteq M$. Nach Fakt ist ${}\operatorname {grad} _{L}M=2$ und nach Fakt ist ${}K\subseteq L$ eine Galoiserweiterung der Ordnung ${}2^{r-1}$ und besitzt nach Induktionsvoraussetzung eine Filtration aus quadratischen Körpererweiterungen. Diese Filtration wird durch ${}L\subset M$

zu einer solchen Gesamtfiltration ergänzt.

Zur gelösten Aufgabe