Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 4

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine Teilmenge, die aus endlich vielen Punkten bestehe. Zeige: ${}V$ ist genau dann irreduzibel, wenn ${}V$ einpunktig ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne in ${}\mathbb {A} _{\mathbb {R} }^{3}$ den Schnitt des Zylinders ${}V(x^{2}+y^{2}-1)$ mit der Kugel mit Mittelpunkt ${}P=(0,0,0)$ und Radius ${}r$ in Abhängigkeit von ${}r$. Wann ist der Durchschnitt leer, wann irreduzibel?

Man darf verwenden, dass der reelle Kreis irreduzibel ist.

Die folgende Aufgabe ist eine leichte Verallgemeinerung einer Aufgabe, die schon in der Zahlentheorie vorkam. Sie hilft auch in der übernächsten Aufgabe.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}\mathbb {Z} /(p)$ der zugehörige Restklassenkörper. Zeige: Jede Quadrik der Form

${}F=aX^{2}+bY^{2}+c=0\,$

mit ${}a,b\neq 0$ hat mindestens eine Lösung in ${}\mathbb {Z} /(p)$.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}p$ eine Primzahl ${}\geq 3$ und ${}\mathbb {Z} /(p)$ der zugehörige Restklassenkörper. Es sei ein Polynom ${}F\in \mathbb {Z} /(p)[X,Y]$ der Form

${}F=\alpha X^{2}+\beta XY+\gamma Y^{2}+\delta X+\epsilon Y+\eta \,$

gegeben. Zeige, dass für das zugehörige Nullstellengebilde ${}V(F)\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ die folgenden drei Alternativen bestehen.

1. ${}V(F)$ besitzt mindestens einen Punkt.
2. ${}F=c$ mit einer Konstanten ${}c\neq 0$.
3. Es gibt eine Variablentransformation derart, dass das Polynom in den neuen Koordinaten die Gestalt ${}Z^{2}-u$ mit einem Nichtquadrat ${}u\in \mathbb {Z} /(p)$ besitzt.

(wenn ${}\alpha ,\beta ,\gamma$ nicht alle null sind, so ist das eine Quadrik)

Die folgende Aufgabe benutzt einige weiterführende topologische Begriffe.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper.

1. Man zeige, dass für ${}K=\mathbb {R}$ bzw. ${}K={\mathbb {C} }$ die Standardtopologie (die metrische oder euklidische Topologie) feiner ist als die Zariski-Topologie.
2. Man zeige, dass für ${}K[X]$ die Zariski-Topologie mit der kofiniten Topologie übereinstimmt. Gilt dies auch für ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ mit ${}n>1$?
3. Wann ist die Zariski-Topologie ${}T_{1}$, wann ist sie hausdorffsch?
4. Wie sieht die Zariski-Topologie aus, wenn ${}K$ ein endlicher Körper ist?

Aufgabe (3 Punkte)

Sei ${}V$ eine irreduzible, affin-algebraische Menge mit mindestens zwei Punkten und seien ${}P_{1},\ldots ,P_{m}\in V$ endlich viele Punkte darin. Zeige, dass dann auch ${}V\setminus \{P_{1},\ldots ,P_{m}\}$ (in der induzierten Topologie) irreduzibel ist.

Aufgabe (1 Punkt)

Skizziere ein Beispiel einer zusammenhängenden, aber nicht irreduziblen affin-algebraischen Teilmenge.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}R$ ein faktorieller Integritätsbereich mit Quotientenkörper ${}Q(R)$. Zeige: Wenn ${}F,G\in R[X]$ keinen gemeinsamen Teiler besitzen, so besitzen sie aufgefasst in ${}Q(R)[X]$ ebenfalls keinen gemeinsamen Teiler.

(man darf sich auf Hauptidealbereiche beschränken)

Aufgabe (1 Punkt)

Betrachte die Menge der reellen Zahlen ${}\mathbb {R}$ mit der metrischen Topologie. Ist ${}\mathbb {R}$ irreduzibel?

Aufgabe (2 Punkte)

Seien ${}{\mathfrak {a}}$ und ${}{\mathfrak {b}}$ zwei Ideale in ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ derart, dass ihre Radikale gleich sind. Zeige, dass dann auch ihre Nullstellenmengen übereinstimmen. Zeige durch ein Beispiel, dass die Umkehrung nicht stimmt.

Aufgabe (2 Punkte)

Erkläre, wo der Beweis zu Satz 4.8 zusammenbricht, wenn man ihn auf mehr als zwei Variablen ausdehnen will.