Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Arbeitsblatt 10

Aufwärmaufgaben

Aufgabe *

Sei ${}K$ ein Körper und sei ${}A$ eine kommutative ${}K$- Algebra, die als ${}K$- Modul endlich sei. Zeige, dass ein Element ${}f\in A$ genau dann eine Einheit ist, wenn es ein Nichtnullteiler ist.

Aufgabe

Es seien ${}K$ und ${}L$ Körper, sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und sei ${}A$, ${}K\subseteq A\subseteq L$, ein Zwischenring. Zeige, dass dann ${}A$ ebenfalls ein Körper ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$- Modul. Dann ist ${}M$ genau dann noethersch, wenn jede aufsteigende Kette

$M_{0}\subseteq M_{1}\subseteq M_{2}\subseteq \ldots$

von ${}R$- Untermoduln stationär wird.

Die folgenden Aufgaben verwenden den Begriff des artinschen Moduls, der „dual“ zum Begriff des noetherschen Moduls ist.

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Ein ${}R$-Modul ${}M$ heißt artinsch, wenn jede absteigende Kette

$M_{1}\supseteq M_{2}\supseteq M_{3}\supseteq \ldots$

von ${}R$-Untermoduln stationär wird.

Ein kommutativer Ring ${}R$ heißt artinsch, wenn er als ${}R$-Modul artinsch ist.

Aufgabe

Es sei ${}A$ ein artinscher Integritätsbereich. Man zeige, dass ${}A$ ein Körper ist. Man gebe ein Beispiel eines artinschen kommutativen Ringes, der kein Körper ist.

Aufgabe *

Es sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein Radikal in einem kommutativen Ring. Zeige, dass ${}{\mathfrak {a}}$ der Durchschnitt von Primidealen ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und ${}F\in K[X,Y]$ ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass der Restklassenring

$K[X,Y]/(F)$

eine endliche ${}K[T]$-Algebra ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Es seien ${}R,S,T$ kommutative Ringe und seien ${}\varphi :R\rightarrow S$ und ${}\psi :S\rightarrow T$ Ringhomomorphismen derart, dass ${}S$ endlich über ${}R$ und ${}T$ endlich über ${}S$ ist. Zeige, dass dann auch ${}T$ endlich über ${}R$ ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Sei ${}A$ ein kommutativer Ring und sei

$0\longrightarrow M\longrightarrow N\longrightarrow P\longrightarrow 0$

eine kurze exakte Sequenz von ${}A$-Moduln. Man zeige, dass ${}N$ genau dann artinsch ist, wenn ${}M$ und ${}P$ artinsch sind.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}A$ eine endliche ${}K$-Algebra. Zeige: Dann ist ${}A$ artinsch.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$- Modul. Zeige: Wenn ${}M$ artinsch und ${}\phi :M\to M$ ${}R$-linear und injektiv ist, so ist ${}\phi$ ein Isomorphismus. Formuliere und beweise auch eine analoge Aussage für den Fall, das ${}M$ noethersch ist.