Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Arbeitsblatt 24/latex

\setcounter{section}{24}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Beschreibe ein Beispiel einer glatten Kurve
\mathl{C \subset {\mathbb A}^{2}_{K}}{} mit einer Parametrisierung, deren Differential an mindestens einem Punkt verschwindet.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte das Achsenkreuz
\mathl{V(xy) \subset {\mathbb A}^{2}_{K}}{} und den zum Nullpunkt gehörigen lokalen Ring $R$ mit maximalem Ideal ${\mathfrak m}$. Beschreibe explizit eine $K$-Basis für die Restklassenringe $R/{\mathfrak m}^n$ und bestimme die Dimensionen davon.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{K[ \![T]\! ]}{} der \definitionsverweis {Potenzreihenring}{}{.} Man gebe die inverse Potenzreihe zu
\mathl{1-T}{} an.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein Körper,
\mathl{{\mathfrak m}=(T)\subset K[T]}{} das zum Nullpunkt gehörige maximale Ideal mit der \definitionsverweis {Lokalisierung}{}{}
\mathl{R=K[T]_{\mathfrak m}}{.} Definiere einen $K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi} {R} {K[ \![T]\! ] } {} mit
\mathl{\varphi(T)=T}{,} wobei
\mathl{K[ \![T]\! ]}{} den \definitionsverweis {Ring der formalen Potenzreihen}{}{} bezeichnet.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne die ersten fünf Glieder (bis einschließlich $c_4$) der eingesetzten Potenzreihe $F(G)$ im Sinne von Definition 24.9.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel für ein irreduzibles reelles Polynom
\mathl{F \in \R[X,Y]}{} derart, dass beide partiellen Ableitungen übereinstimmen und nicht konstant sind. Zeige, dass dies über ${\mathbb C}$ nicht möglich ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die Kurve
\mathl{C=V(X^2-Y^2-Y^3)}{} mit der in Beispiel 24.3 besprochenen Parametrisierung. Bestimme die singulären Punkte der Kurve zusammen mit den Multiplizitäten und Tangenten. Berechne ebenfalls die Bildpunkte und die Tangenten für die Parameterwerte
\mathl{t=-1,0,1}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Beschreibe eine formale Potenzreihe über ${\mathbb C}$, die in keiner Umgebung des Nullpunktes konvergiert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein Körper. Vergleiche die beiden Ringe \mathkor {} {(K[X])[ \![Y]\! ]} {und} {(K[ \![Y]\! ])[X]} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {noetherscher}{}{} kommutativer Ring. Man zeige, dass
\mathl{R[[T_1, \ldots , T_{n}]]}{} noethersch ist.

}
{} {Hinweis: Lassen Sie sich vom Beweis des Hilbertschen Basissatzes inspirieren!}