Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Arbeitsblatt 25

Aufwärmaufgaben

Aufgabe *

Bestimme für die ebene algebraische Kurve

$V{\left(X^{3}+Y^{2}-XY+X\right)}$

eine nichtkonstante Potenzreihenlösung ${}X=F(Y)$ im Nullpunkt bis zum sechsten Glied.

Aufgabe *

Bestimme für die ebene algebraische Kurve

$V(X^{2}Y+X^{2}+Y^{2}-5XY+Y)$

eine nicht-konstante Potenzreihenlösung ${}Y=F(X)$ im Nullpunkt bis zur fünften Ordnung.

Die folgenden Aufgaben beschäftigen sich mit der Komplettierung eines lokalen Ringes.

Aufgabe

Betrachte zu einem lokalen Ring ${}R$ mit maximalem Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ das Diagramm

$\longrightarrow R/{\mathfrak {m}}^{4}\longrightarrow R/{\mathfrak {m}}^{3}\longrightarrow R/{\mathfrak {m}}^{2}\longrightarrow R/{\mathfrak {m}}.$

Dabei sind die Abbildungen die kanonischen Projektionen ${}\varphi _{n}:R/{\mathfrak {m}}^{n+1}\rightarrow R/{\mathfrak {m}}^{n}$, die durch die Idealinklusionen ${}{\mathfrak {m}}^{n+1}\subseteq {\mathfrak {m}}^{n}$ induziert werden. Eine Folge von Elementen

$a_{n}\in R/{\mathfrak {m}}^{n}$

heißt verträglich, wenn ${}\varphi _{n}(a_{n+1})=a_{n}$ für alle ${}n$ gilt. Definiere eine Ringstruktur auf der Menge aller verträglichen Elemente (diesen Ring nennt man die Komplettierung von ${}R$.) Zeige ferner, dass es einen kanonischen Ringhomomorphismus von ${}R$ in die Komplettierung gibt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein eindimensionaler lokaler noetherscher kommutativer Ring. Zeige, dass die kanonische Abbildung von ${}R$ in die Komplettierung von ${}R$ injektiv ist.

Bemerkung: Die Injektivität gilt für jeden noetherschen lokalen Ring, ist aber schwieriger zu beweisen.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}I$ ein Ideal. Zeigen Sie, dass durch

$\{x+I^{n}\,\vert \,n\in \mathbb {N} \}\quad (x\in R)$

Umgebungsbasen definiert werden. Zeigen Sie außerdem, dass die auf ${}R$ induzierte Topologie genau dann hausdorffsch ist, wenn ${}\bigcap _{n}I^{n}=\{0\}$.

Bemerkung: Die Komplettierung eines lokalen Ringes bezüglich seines maximalen Ideals entspricht dann genau der (topologischen) Komplettierung bezüglich dieser Topologie.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte die Kardioide

$V((X^{2}+Y^{2})^{2}-2X(X^{2}+Y^{2})-Y^{2})$

im Punkt ${}(2,0)$. Bestimme eine formale Parametrisierung (bis zum fünften Term) der Kurve in diesem Punkt in Abhängigkeit von einem Tangentenparameter.

Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte den Einheitskreis ${}X^{2}+Y^{2}=1$ im Punkt ${}(1,0)$. Bestimme Potenzreihen ${}G$ und ${}H\in K[\![T]\!]$ mit den Anfangsbedingungen ${}a_{0}=1,\,a_{1}=0,\,b_{0}=0,\,b_{1}=1$ und mit ${}G(T)^{2}+H(T)^{2}=1$.

Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte die Neilsche Parabel ${}C=V(Y^{3}-X^{2})$ im Punkt ${}(1,1)$. Finde eine Parametrisierung der Kurve in diesem Punkt mit Potenzreihen (bis zum fünften Glied) derart, dass eine Potenzreihe davon ein lineares Polynom ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper. Eine formale Laurentreihe mit endlichem Hauptteil ist eine unendliche Summe der Form

$F=\sum _{n=k}^{\infty }a_{n}T^{n}{\text{ mit }}a_{n}\in K{\text{ und }}k\in \mathbb {Z} .$

Zeige, dass der Ring dieser formalen Reihen (mit geeigneten Ringoperationen) isomorph zum Quotientenkörper des Potenzreihenringes ${}K[\![T]\!]$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[T]$ der Polynomring in einer Variablen. Es sei ${}R$ die Lokalisierung von ${}K[T]$ am maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}=(T)$. Zeige, dass die Komplettierung von ${}R$ isomorph zum Potenzreihenring ${}K[\![T]\!]$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}R=K[\![T]\!]$ der Potenzreihenring Zeige, dass es in ${}R$ keine Quadratwurzel für ${}T$ gibt. Zeige ferner, dass für ${}K=\mathbb {Z} /(7)$ das Element ${}T+2$ eine Quadratwurzel in ${}R$ besitzt, und bestimme die ersten fünf Koeffizienten von einer Quadratwurzel davon.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}F\in K[X,Y]$ ein irreduzibles Polynom und ${}R=K[X,Y]/(F)$ der integre Koordinatenring der ebenen Kurve ${}C=V(F)$. Es sei ${}R\rightarrow S=R^{\operatorname {norm} }$ die Normalisierung von ${}R$ und es sei ${}R\rightarrow K[\![T]\!]$ der Ringhomomorphismus zu einer nichtkonstanten formalen Potenzreihenlösung der Kurve. Zeige, dass es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus ${}S\rightarrow K[\![T]\!]$ gibt derart, dass das Diagramm

${\begin{matrix}R&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&S&\\&\searrow &\downarrow &\\&&K[\![T]\!]&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

kommutiert.

Aufgabe zum Hochladen

Aufgabe (4 Punkte)

Zeichne mittels eines geeigneten Programms eine der Beispielkurven der Vorlesung sowie die verschiedenen dort berechneten polynomialen Approximationen.