Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Arbeitsblatt 24

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Beschreibe ein Beispiel einer glatten Kurve ${}C\subset {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ mit einer Parametrisierung, deren Differential an mindestens einem Punkt verschwindet.

Betrachte das Achsenkreuz ${}V(xy)\subset {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ und den zum Nullpunkt gehörigen lokalen Ring ${}R$ mit maximalem Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ . Beschreibe explizit eine ${}K$ -Basis für die Restklassenringe ${}R/{\mathfrak {m}}^{n}$ und bestimme die Dimensionen davon.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}K[\![T]\!]$ der Potenzreihenring. Man gebe die inverse Potenzreihe zu ${}1-T$ an.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}{\mathfrak {m}}=(T)\subset K[T]$ das zum Nullpunkt gehörige maximale Ideal mit der Lokalisierung ${}R=K[T]_{\mathfrak {m}}$ . Definiere einen ${}K$ - Algebrahomomorphismus

\varphi \colon R\longrightarrow K[\![T]\!]

mit ${}\varphi (T)=T$ , wobei ${}K[\![T]\!]$ den Ring der formalen Potenzreihen bezeichnet.

Aufgabe

Berechne die ersten fünf Glieder (bis einschließlich ${}c_{4}$ ) der eingesetzten Potenzreihe ${}F(G)$ im Sinne von Definition 24.9.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für ein irreduzibles reelles Polynom ${}F\in \mathbb {R} [X,Y]$ derart, dass beide partiellen Ableitungen übereinstimmen und nicht konstant sind. Zeige, dass dies über ${}{\mathbb {C} }$ nicht möglich ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte die Kurve ${}C=V(X^{2}-Y^{2}-Y^{3})$ mit der in Beispiel 24.3 besprochenen Parametrisierung. Bestimme die singulären Punkte der Kurve zusammen mit den Multiplizitäten und Tangenten. Berechne ebenfalls die Bildpunkte und die Tangenten für die Parameterwerte ${}t=-1,0,1$ .