Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 12
- Aufgaben
Aufgabe
Es sei ein Zahlbereich und sei , . Es sei die Zerlegung in Primideale und es sei vorausgesetzt, dass eine Primfaktorzerlegung besitzt. Zeige, dass die Primideale Hauptideale sind.
Aufgabe
Es sei ein Ideal in einem Dedekindbereich. Zeige, dass es ein Ideal derart gibt, dass ein Hauptideal ist.
Aufgabe
Aufgabe *
Es sei ein Produkt aus kommutativen Ringen. Zeige, dass für die Einheitengruppe von die Beziehung
gilt.
Aufgabe
Es sei ein kommutativer Ring und sei . Es sei sowohl nilpotent als auch idempotent. Zeige, dass ist.
Aufgabe
Es seien und kommutative Ringe und sei der Produktring . Zeige, dass die Teilmenge ein Hauptideal ist.
Aufgabe
Es seien ein kommutativer Ring und Ideale in . Es sei weiter
Zeige, dass genau dann surjektiv ist, wenn gilt. Wie sieht aus? Benutze jetzt den Homomorphiesatz um einzusehen, was das im Falle mit dem chinesischen Restsatz zu tun hat.
Aufgabe
Es sei ein kommutativer Ring und seien Ideale. Wir betrachten die Gruppenhomomorphismen
und
Zeige, dass injektiv ist, dass surjektiv ist und dass
ist. Sind und Ringhomomorphismen?
Aufgabe
Es sei ein kommutativer Ring und sei ein idempotentes Element. Zeige, dass es eine natürliche Ringisomorphie
gibt.
Aufgabe
Es sei ein topologischer Raum mit einer disjunkten Zerlegung
aus offenen Teilmengen . Zeige, dass die natürliche Abbildung
bijektiv ist.
Aufgabe
Es seien und kommutative Ringe mit dem Produktring . Zeige, dass es eine natürliche Homöomorphie
gibt.
Aufgabe *
Es seien kommutative Ringe und sei
der Produktring.
- Es seien
Ideale. Zeige, dass die Produktmenge
ein Ideal in ist.
- Zeige, dass jedes Ideal die Form
mit Idealen besitzt.
- Sei
ein Ideal in . Zeige, dass genau dann ein Hauptideal ist, wenn sämtliche Hauptideale sind.
- Zeige, dass genau dann ein Hauptidealring ist, wenn alle Hauptidealringe sind.
Aufgabe
Es sei ein kommutativer Ring und sei ein idempotentes Element. Zeige, dass auch idempotent ist und dass die „zusammengesetzte“ Restklassenabbildung
eine Bijektion ist.
Ein kommutativer Ring heißt zusammenhängend, wenn er genau zwei idempotente Elemente (nämlich ) enthält.
Aufgabe
Es sei ein kommutativer lokaler Ring. Zeige, dass zusammenhängend ist.
Aufgabe *
Zeige, dass ein Integritätsbereich ein zusammenhängender Ring ist.
Aufgabe *
(a) Bestimme für die Zahlen , und modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in
die Restetupel und repräsentieren.
(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung der simultanen Kongruenzen
Aufgabe
(a) Bestimme für die Zahlen , und modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in
die Restetupel und repräsentieren.
(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung der simultanen Kongruenzen
Aufgabe *
a) Finde die Zahlen mit der Eigenschaft, dass die letzte Ziffer ihres Quadrates (in der Dezimaldarstellung) gleich ist.
b) Finde die Zahlen mit der Eigenschaft, dass die beiden letzten Ziffern ihres Quadrates (in der Dezimaldarstellung) gleich ist.
Aufgabe
Finde in nichttriviale idempotente Elemente.
Aufgabe
Sei ein faktorieller Bereich und ein Primelement. Zeige, dass der Restklassenring nur die beiden trivialen idempotenten Elemente und besitzt.
Aufgabe
Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es seien verschiedene Elemente und
das Produkt der zugehörigen linearen Polynome. Zeige, dass der Restklassenring isomorph zum Produktring ist.
Aufgabe *
Das Polynom besitzt in die Zerlegung
in irreduzible Faktoren und daher gilt die Isomorphie
a) Bestimme das Polynom kleinsten Grades, das rechts dem Element entspricht.
a) Bestimme das Polynom kleinsten Grades, das rechts dem Element entspricht.
Aufgabe *
Schreibe den Restklassenring als ein Produkt von Körpern, wobei lediglich die Körper und vorkommen. Schreibe die Restklasse von als ein Tupel in dieser Produktzerlegung.
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Zeige, dass die folgenden - Algebren zueinander isomorph sind.
- Der Produktring .
- Der Restklassenring .
- Der Restklassenring .
Aufgabe *
Bestimme in die Primideale, die enthalten, sowie den Hauptdivisor zu .
Aufgabe *
Es sei ein Dedekindbereich und ein Ideal. Zeige, dass ein Hauptidealring ist.
Aufgabe
Zeige, dass jedes Ideal in einem Dedekindbereich von maximal zwei Elementen erzeugt wird.
Aufgabe
Aufgabe
Es sei ein Zahlbereich und sei die Menge aller Normen zu Idealen in . Zeige, dass ein multiplikatives System ist, das von gewissen Primzahlpotenzen erzeugt wird.
Aufgabe
Zeige, dass es in einer endlichen integren Erweiterung Primideale derart geben kann, dass die Anzahl des Restklassenringes zu einer Primidealpotenz keine Potenz ist.
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