Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 12

Aufgaben

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und sei ${}f\in R$, ${}f\neq 0$. Es sei ${}(f)={\mathfrak {p}}_{1}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}$ die Zerlegung in Primideale und es sei vorausgesetzt, dass ${}f$ eine Primfaktorzerlegung besitzt. Zeige, dass die Primideale ${}{\mathfrak {p}}_{i}$ Hauptideale sind.

Aufgabe

Es sei ${}{\mathfrak {a}}\neq 0$ ein Ideal in einem Dedekindbereich. Zeige, dass es ein Ideal ${}{\mathfrak {b}}\neq 0$ derart gibt, dass ${}{\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}$ ein Hauptideal ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper. Wir betrachten in ${}K[X,Y]$ die beiden Primideale

${}{\mathfrak {p}}=(X)\subset (X,Y)={\mathfrak {m}}\,.$

Zeige, dass es kein Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ mit

${}{\mathfrak {p}}={\mathfrak {a}}\cdot {\mathfrak {m}}\,$

gibt.

Aufgabe *

Es sei ${}R=R_{1}\times \cdots \times R_{n}$ ein Produkt aus kommutativen Ringen. Zeige, dass für die Einheitengruppe von ${}R$ die Beziehung

${}R^{\times }=R_{1}^{\times }\times \cdots \times R_{n}^{\times }\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}f\in R$. Es sei ${}f$ sowohl nilpotent als auch idempotent. Zeige, dass ${}f=0$ ist.

Aufgabe

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und sei ${}R\times S$ der Produktring ${}R\times S$. Zeige, dass die Teilmenge ${}R\times 0$ ein Hauptideal ist.

Aufgabe

Es seien ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}I,J$ Ideale in ${}R$. Es sei weiter

$\varphi \colon R\longrightarrow R/I\times R/J,\,r\longmapsto (r+I,r+J).$

Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann surjektiv ist, wenn ${}I+J=R$ gilt. Wie sieht ${}\operatorname {kern} \varphi$ aus? Benutze jetzt den Homomorphiesatz um einzusehen, was das im Falle ${}R=\mathbb {Z}$ mit dem chinesischen Restsatz zu tun hat.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und seien ${}I,J\subseteq R$ Ideale. Wir betrachten die Gruppenhomomorphismen

$\varphi \colon R/I\cap J\longrightarrow R/I\times R/J,\,r\longmapsto (r,r),$

und

$\psi \colon R/I\times R/J\longrightarrow R/I+J,\,(s,t)\longmapsto s-t.$

Zeige, dass ${}\varphi$ injektiv ist, dass ${}\psi$ surjektiv ist und dass

${}\operatorname {bild} \varphi =\operatorname {kern} \psi \,$

ist. Sind ${}\varphi$ und ${}\psi$ Ringhomomorphismen?

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}e\in R$ ein idempotentes Element. Zeige, dass es eine natürliche Ringisomorphie

${}R_{e}\cong R/(1-e)\,$

gibt.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum mit einer disjunkten Zerlegung

${}X=U\uplus V\,$

aus offenen Teilmengen ${}U,V\subseteq X$. Zeige, dass die natürliche Abbildung

$C(X,\mathbb {R} )\longrightarrow C(U,\mathbb {R} )\times C(V,\mathbb {R} ),\,f\longmapsto (f\vert _{U},f\vert _{V}),$

bijektiv ist.

Aufgabe

Es seien ${}R_{1}$ und ${}R_{2}$ kommutative Ringe mit dem Produktring ${}R=R_{1}\times R_{2}$. Zeige, dass es eine natürliche Homöomorphie

$\operatorname {Spek} {\left(R_{1}\right)}\uplus \operatorname {Spek} {\left(R_{2}\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R_{1}\times R_{2}\right)}.$

gibt.

Aufgabe *

Es seien ${}R_{1},R_{2},\ldots ,R_{n}$ kommutative Ringe und sei

${}R=R_{1}\times R_{2}\times \cdots \times R_{n}\,$

der Produktring.

1. Es seien

   $I_{1}\subseteq R_{1},I_{2}\subseteq R_{2},\ldots ,I_{n}\subseteq R_{n}$

   Ideale. Zeige, dass die Produktmenge

   $I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}$

   ein Ideal in ${}R$ ist.

2. Zeige, dass jedes Ideal ${}I\subseteq R$ die Form

   ${}I=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}\,$

   mit Idealen ${}I_{j}\subseteq R_{j}$ besitzt.

3. Es sei

   ${}I=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}\,$

   ein Ideal in ${}R$. Zeige, dass ${}I$ genau dann ein Hauptideal ist, wenn sämtliche ${}I_{j}$ Hauptideale sind.

4. Zeige, dass ${}R$ genau dann ein Hauptidealring ist, wenn alle ${}R_{j}$ Hauptidealringe sind.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}e\in R$ ein idempotentes Element. Zeige, dass auch ${}1-e$ idempotent ist und dass die „zusammengesetzte“ Restklassenabbildung

$R\longrightarrow R/(e)\times R/(1-e)$

eine Bijektion ist.

Ein kommutativer Ring ${}R$ heißt zusammenhängend, wenn er genau zwei idempotente Elemente (nämlich $0\neq 1$) enthält.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer lokaler Ring. Zeige, dass ${}R$ zusammenhängend ist.

Aufgabe *

Zeige, dass ein Integritätsbereich ein zusammenhängender Ring ist.

Aufgabe *

a) Bestimme für die Zahlen ${}3$, ${}5$ und ${}7$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in

$\mathbb {Z} /(3)\times \mathbb {Z} /(5)\times \mathbb {Z} /(7)$

die Restetupel ${}(1,0,0),\,(0,1,0)$ und ${}(0,0,1)$ repräsentieren.

b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung ${}x$ der simultanen Kongruenzen

$x=2\!\!\mod 3,\,\,\,\,x=4\!\!\mod 5{\text{ und }}x=3\!\!\mod 7.$

Aufgabe

a) Bestimme für die Zahlen ${}2$, ${}3$ und ${}7$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in

$\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(3)\times \mathbb {Z} /(7)$

die Restetupel ${}(1,0,0),\,(0,1,0)$ und ${}(0,0,1)$ repräsentieren.

b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung ${}x$ der simultanen Kongruenzen

$x=1\!\!\mod 2,\,\,\,\,x=2\!\!\mod 3{\text{ und }}x=2\!\!\mod 7.$

Aufgabe *

a) Finde die Zahlen ${}z\in \{0,1,\ldots ,9\}$ mit der Eigenschaft, dass die letzte Ziffer ihres Quadrates (in der Dezimaldarstellung) gleich ${}z$ ist.

b) Finde die Zahlen ${}z\in \{0,1,\ldots ,99\}$ mit der Eigenschaft, dass die beiden letzten Ziffern ihres Quadrates (in der Dezimaldarstellung) gleich ${}z$ ist.

Aufgabe

Finde in ${}\mathbb {Q} [X]/(X^{2}-1)$ nichttriviale idempotente Elemente.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein faktorieller Bereich und ${}p\in R$ ein Primelement. Zeige, dass der Restklassenring ${}R/(p^{n})$ nur die beiden trivialen idempotenten Elemente ${}0$ und ${}1$ besitzt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Es seien ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ verschiedene Elemente und

${}F=(X-a_{1}){\cdots }(X-a_{n})\,$

das Produkt der zugehörigen linearen Polynome. Zeige, dass der Restklassenring ${}K[X]/(F)$ isomorph zum Produktring ${}K^{n}$ ist.

Aufgabe *

Das Polynom ${}X^{3}-7X^{2}+3X-21$ besitzt in ${}\mathbb {R} [X]$ die Zerlegung

${}X^{3}-7X^{2}+3X-21=(X-7)(X^{2}+3)\,$

in irreduzible Faktoren und daher gilt die Isomorphie

${}\mathbb {R} [X]/(X^{3}-7X^{2}+3X-21)\cong \mathbb {R} [X]/(X-7)\times \mathbb {R} [X]/(X^{2}+3)\,.$

a) Bestimme das Polynom kleinsten Grades, das rechts dem Element ${}(1,0)$ entspricht.

b) Bestimme das Polynom kleinsten Grades, das rechts dem Element ${}(0,1)$ entspricht.

Aufgabe *

Schreibe den Restklassenring ${}\mathbb {Q} [X]/(X^{4}-1)$ als ein Produkt von Körpern, wobei lediglich die Körper ${}\mathbb {Q}$ und ${}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$ vorkommen. Schreibe die Restklasse von ${}X^{3}+X$ als ein Tupel in dieser Produktzerlegung.

Aufgabe

Zeige, dass jeder echte Restklassenring von ${}{\mathbb {C} }[X]$ isomorph zu einem Produktring der Form

${\mathbb {C} }\times \cdots \times {\mathbb {C} }\times {\mathbb {C} }[X]/(X^{2})\times \cdots \times {\mathbb {C} }[X]/(X^{2})\times {\mathbb {C} }[X]/(X^{3})\times \cdots \times {\mathbb {C} }[X]/(X^{3})\times \cdots \times {\mathbb {C} }[X]/(X^{m})\times \cdots \times {\mathbb {C} }[X]/(X^{m})$

ist.

Aufgabe

Realisiere den Produktring

$\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times {\mathbb {C} }\times {\mathbb {C} }\times {\mathbb {C} }$

als einen Restklassenring von ${}\mathbb {R} [X]$.

Aufgabe

Zeige, dass die folgenden ${}K$- Algebren zueinander isomorph sind.

1. Der Produktring ${}K\times K\times K$.
2. Der Restklassenring ${}K[X]/(X^{3}-X)$.
3. Der Restklassenring ${}K[X,Y]/(X,Y)\cdot (X-1,Y-1)\cdot (X,Y-7)$.

Aufgabe *

Bestimme in ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {7}}]$ die Primideale, die ${}5-3{\sqrt {7}}$ enthalten, sowie den Hauptdivisor zu ${}5-3{\sqrt {7}}$.

Aufgabe *

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich und ${}{\mathfrak {a}}\neq 0$ ein Ideal. Zeige, dass ${}R/{\mathfrak {a}}$ ein Hauptidealring ist.

Aufgabe

Zeige, dass jedes Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ in einem Dedekindbereich ${}R$ von maximal zwei Elementen erzeugt wird.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich. Zeige, dass die Norm einen Monoidhomomorphismus

$N\colon (\operatorname {Eff\,Div} {\left(R\right)},+)\longrightarrow (\mathbb {N} _{+},\cdot )$

festlegt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und sei ${}T\subseteq \mathbb {N}$ die Menge aller Normen zu Idealen ${}\neq 0$ in ${}R$. Zeige, dass ${}T$ ein multiplikatives System ist, das von gewissen Primzahlpotenzen ${}p^{i}$ erzeugt wird.

Aufgabe

Zeige, dass es in einer endlichen integren Erweiterung ${}\mathbb {Z} \subseteq R$ Primideale ${}{\mathfrak {p}}$ derart geben kann, dass die Anzahl des Restklassenringes ${}R/{\mathfrak {p}}^{r}$ zu einer Primidealpotenz ${}{\mathfrak {p}}^{r}$ keine Potenz ist.