Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 13
- Aufgaben
Es sei ein diskreter Bewertungsring. Definiere zu einem Element , , die Ordnung
Dabei soll die Definition mit der Ordnung für Elemente aus übereinstimmen und einen Gruppenhomomorphismus definieren. Was ist der Kern dieses Homomorphismus?
Es sei ein Dedekindbereich. Zeige, dass die Abbildung, die einem Element , , den Hauptdivisor zuordnet, folgende Eigenschaften besitzt.
- Es ist .
- Es ist .
Zeige insbesondere, dass diese Zuordnung einen Gruppenhomomorphismus
definiert und dass die Hauptdivisoren eine Untergruppe der Divisoren bilden.
Es sei ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper und sei . Zeige, dass genau dann gilt, wenn der Hauptdivisor effektiv ist.
Es sei ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper und sei ein Divisor. Zeige, dass es ein derart gibt, dass effektiv ist.
Bestimme eine rationale Funktion , die an der Stelle einen Pol der Ordnung , in eine Nullstelle der Ordnung und in einen Pol der Ordnung besitzt.
Es sei eine rationale Funktion . Zeige, dass in genau dann eine Nullstelle der Ordnung besitzt, wenn in einen Pol der Ordnung besitzt.
Es sei ein quadratischer Zahlbereich. Definiere zu einem Divisor den „konjugierten Divisor“ . Zeige, dass für , , die Beziehung
gilt.
Beweise, dass es zu einem Zahlbereich einen Gruppenisomorphismus
gibt, wobei die Gruppe der Hauptdivisoren bezeichnet.
Bestimme in einen größten gemeinsamen Teiler für und .
Es sei . Berechne den Hauptdivisor zu
Es sei
Berechne den Hauptdivisor zu
Es sei der quadratische Zahlbereich zu . Berechne zu
den zugehörigen Hauptdivisor und stelle ihn als Differenz zweier effektiver Divisoren dar.
Es sei der quadratische Zahlbereich zu . Berechne mittels des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von
Es sei der quadratische Zahlbereich zu . Bestimme die Primfaktorzerlegung von
Es sei quadratfrei mit und . Zeige, dass ein Primideal im quadratischen Zahlbereich ist, aber kein Hauptideal. Folgere, dass diese Ringe nicht faktoriell sind.
Im quadratischen Zahlbereich gilt
Finde die Primfaktorzerlegungen (?) der beteiligten Faktoren und des Produktes.
Im quadratischen Zahlbereich gilt
Kann man diese Produkte weiter zerlegen, sind die beteiligten Faktoren prim?
Es sei quadratfrei und betrachte . Charakterisiere für die beiden Ringe, wann prim ist.
Bestimme in einen größten gemeinsamen Teiler für und .
Es sei quadratfrei und betrachte . Zeige, dass die einzige Faktorisierung (bis auf Einheiten) von durch
gegeben ist. Zeige damit, dass irreduzibel ist. Zeige ferner, dass falls keine Primzahl ist, dann auch nicht prim in ist.
Der Floh Kurt lebt auf einem unendlichen Lineal und befindet sich in der Nullposition. Er verfügt über drei Sprünge, nämlich
Berechne das zugehörige gebrochene Ideal, das seinem Lebensraum entspricht.
Es sei . Berechne einen Erzeuger für das gebrochene Ideal aus , das durch die beiden Erzeuger
gegeben ist.
Die Flöhin Paola lebt in der komplexen Ebene und befindet sich im Nullpunkt. Sie verfügt über drei Sprünge, nämlich
Man gebe eine einfache Beschreibung des gebrochenen Ideals, das ihrem Lebensraum entspricht.
Es sei der quadratische Zahlbereich zu . Berechne zu
den zugehörigen Hauptdivisor und stelle ihn als Differenz zweier effektiver Divisoren dar.
Es sei ein Ideal in einem Dedekindbereich mit dem zugehörigen effektiven Divisor . Zeige, dass das inverse gebrochene Ideal
gleich dem zu gehörenden gebrochenen Ideal ist.
Es sei ein Zahlbereich und es seien und gebrochene Ideale.
- Zeige, dass wenn es ein
, ,
mit
gibt, dass dann die Multiplikation mit , also
einen - Modulisomorphismus
induziert.
- Zeige, dass wenn es irgendeinen -Modulisomorphismus
gibt, dass es dann schon ein mit
gibt, und dass der Isomorphismus eine Multiplikation ist.
Zeige direkt, dass die gebrochenen Ideale eine Gruppe bilden, und dass die gebrochenen Hauptideale darin eine Untergruppe bilden.
Zeige, dass man jedes gebrochene Ideal in einem Dedekindbereich in der Form
mit Idealen und darstellen kann.
Es sei ein Körper und der Polynomring in zwei Variablen und . Zeige
Man folgere, dass die gebrochenen Ideale zu diesem Ring keine Gruppe bezüglich der Multiplikation von Idealen bilden kann.
Es sei ein Dedekindbereich. Zeige die folgenden Aussagen.
- Es sei ein
gebrochenes Ideal
mit einer Darstellung
mit
und einem Ideal
.
Dann ist
- Zu einem
Divisor
mit
effektiv
ist
Führe die Einzelheiten im Beweis zu Satz 13.16 aus.
Es sei (mit ) ein Ideal in einem Zahlbereich und sei vorausgesetzt, dass das inverse gebrochene Ideal die Gestalt
hat. Zeige, dass ein Hauptideal sein muss.
Finde eine (additive) Gruppe und Gruppenhomomorphismen und derart, dass das Diagramm
kommutiert und dass injektiv ist.
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