Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Vorlesung 10/latex
\setcounter{section}{10}
\zwischenueberschrift{Die Norm für Zahlbereiche}
Nach Korollar 7.11 ist die Norm eines Elementes eines Zahlbereiches ganzzahlig.
\inputfaktbeweis
{Zahlbereich/Element/Einheit/Norm/Z/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ der
\definitionsverweis {Ganzheitsring}{}{}
einer
\definitionsverweis {endlichen Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{,}
wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{N(f)
}
{ = }{ \pm 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Einheit ist, so ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{fg
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und aus
der Multiplikativität der Norm
folgt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{N(f) N(g)
}
{ =} {N(1)
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
woraus nach
Korollar 7.11
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{N(f)
}
{ = }{ \pm 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt. Die Umkehrung folgt aus
Korollar 8.6
und daraus, dass dann die Multiplikationsabbildung zu $f$ auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \cong }{\Z^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bijektiv ist.
\inputfaktbeweis
{Zahlbereich/Hauptideal zu ganzer Zahl/Norm/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
vom Grad $d$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{\Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die
\definitionsverweis {Norm}{}{}
von $n$ in $R$ gleich $n^d$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies ist ein Spezialfall von Lemma 8.7 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)).
\zwischenueberschrift{Die Norm von Idealen}
\inputdefinition
{}
{
Zu einem
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in einem
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
$R$ heißt die
\zusatzklammer {endliche} {} {}
Anzahl des
\definitionsverweis {Restklassenringes}{}{}
\mathl{R/{\mathfrak a}}{} die \definitionswort {Norm}{} von ${\mathfrak a}$. Sie wird mit
\mathdisp {N { \left( {\mathfrak a} \right) }} { }
bezeichnet.
}
\inputbeispiel{}
{
Zu einem von $0$ verschiedenen
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(n)
}
{ \subseteq }{\Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die
\definitionsverweis {Norm}{}{}
einfach gleich $n$, da ja der
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
$\Z/(n)$ genau $n$ Elemente besitzt.
}
\inputfaktbeweis
{Zahlbereich/Ideal/Norm/Enthalten/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
in einem
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
$R$.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ N({\mathfrak a})
}
{ \in }{ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir betrachten die Abbildung
\mathdisp {\Z \longrightarrow R \longrightarrow R/ {\mathfrak a}} { . }
Der Ring rechts hat nach Definition $N( {\mathfrak a} )$ Elemente. Deshalb gehört diese Zahl zum Kern der Gesamtabbildung.
Die Norm eines Ideals berechnet man am besten, indem man nach und nach den Restklassenring vereinfacht. Ein entscheidender Schritt ist dabei, eine ganze Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in dem Ideal zu finden, da man dann über dem endlichen Ring $\Z/(n)$ arbeiten und weiter vereinfachen kann. Dieses Verfahren hilft aufgrund der folgenden Aussage auch bei der Berechnung der Norm von Elementen.
\inputfaktbeweis
{Zahlbereich/Hauptideal/Norm/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
und
\mathbed {f \in R} {}
{f \neq 0} {}
{} {} {} {.}}
\faktfolgerung {Dann ist der Betrag der
\definitionsverweis {Norm}{}{}
von $f$ gleich der
\definitionsverweis {Norm}{}{}
des Hauptideals
\mathl{fR}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Das Hauptideal $Rf$ ist das Bild des injektiven Gruppenhomomorphismus
\maabbeledisp {} {R} {R
} {1} {f
} {.}
Dieser wird unter einer Identifizierung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{\Z^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {also der Wahl einer
\definitionsverweis {Ganzheitsbasis}{}{}
von $R$} {} {}
durch die zu $f$ gehörende Multiplikationsmatrix $M_f$ beschrieben. Es liegt insgesamt dias kommutative Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} R & \stackrel{ \mu_f }{\longrightarrow} & R & \stackrel{ }{\longrightarrow} & R/fR & \stackrel{ }{\longrightarrow} & 0 & \\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & &\\ \Z^n & \stackrel{ M_f }{\longrightarrow} & \Z^n & \stackrel{ }{\longrightarrow} & \Z^n/ \operatorname{bild} M_f & \stackrel{ }{\longrightarrow} & 0 &\!\!\!\!\! \\ \end{matrix}} { }
mit vertikalen Isomorpien vor. Die Determinante von $M_f$ ist die Norm von $f$, und die Anzahl der Elemente in der Restklassengruppe $R/fR$ ist die Norm des Hauptideals. Daher folgt die Aussage aus
Satz Anhang 7.1.
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten im
\definitionsverweis {quadratischen Zahlbereich}{}{}
$R$ zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ = }{-5
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}
}
{ =} { (2, 1+ \sqrt{-5})
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir behaupten, dass es kein Hauptideal ist und verwenden dabei, dass die
\definitionsverweis {Norm}{}{}
dieses Ideals gleich $2$ ist. Wäre nämlich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}
}
{ = }{(f)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
so müsste nach
[[Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Norm/Element und Hauptideal/Fakt|Lemma 10.6 ]]
auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { N(f) }
}
{ =} {2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gelten. Allerdings ist die Norm von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ = }{a+b \sqrt{-5}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gleich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{N(f)
}
{ = }{ a^2+ 5b^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und dies kann nicht gleich $2$ sein.
}
\inputfaktbeweis
{Zahlbereich/Element/Hauptideal/Norm/Enthalten/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $f$ ein Element in einem
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
$R$.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ N(f)
}
{ \in }{ fR
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {Insbesondere ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ N(f) }{ f } }
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt aus
Lemma 10.6
und
Lemma 10.5,
angewendet auf das Hauptideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ = }{ (f)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Norm
\maabb {} {R} {\Z
} {}
hat die Eigenschaft, dass oberhalb von $1$ nur Einheiten liegen. Auch für die Elemente aus $R$, deren Norm gleich einer fixierten ganzen Zahl $a$ ist, gibt es eine wichtige Gesetzmäßigkeit.
\inputfaktbeweis
{Zahlbereich/Norm fixiert/Elemente/Assoziiert/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ der
\definitionsverweis {Ganzheitsring}{}{}
einer
\definitionsverweis {endlichen Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{\Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es endlich viele Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f_1 , \ldots , f_m
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { N(f) }
}
{ = }{a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zu einem der $f_i$
\definitionsverweis {assoziiert}{}{}
ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Der
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
$R/(a)$ ist endlich nach
Lemma 10.2
und
Lemma 10.6.
Wir behaupten, dass Elemente aus der gleichen Nebenklasse zu $R/(a)$, die beide die Norm $a$ besitzen, zueinander assoziiert sind
\zusatzklammer {für die $f_j$ wählen wir zu jeder Nebenklasse von $R/(a)$ einen Repräsentanten mit Norm $a$ aus, falls es überhaupt ein solches Element gibt} {} {.}
Es seien dazu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f,g,h
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f
}
{ =} {g+ah
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{N(f)
}
{ = }{N(g)
}
{ = }{a
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist in $Q(R)$
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ f }{ g } }
}
{ =} { { \frac{ g+ah }{ g } }
}
{ =} { 1 +a { \frac{ h }{ g } }
}
{ =} { 1 + { \frac{ N(g) }{ g } } h
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und dies gehört zu $R$, da ${ \frac{ N(g) }{ g } }$ nach
Korollar 10.8
zu $R$ gehört. Dies gilt auch, wenn man die Rollen von
\mathkor {} {f} {und} {g} {}
vertauscht. Also teilen sich
\mathkor {} {f} {und} {g} {}
gegenseitig und sind daher assoziiert.
\zwischenueberschrift{Diskrete Bewertungsringe}
\inputdefinition
{}
{
Ein \definitionswort {diskreter Bewertungsring}{} $R$ ist ein \definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{} mit der Eigenschaft, dass es bis auf \definitionsverweis {Assoziiertheit}{}{} genau ein \definitionsverweis {Primelement}{}{} in $R$ gibt.
}
Einen Erzeuger des maximalen Ideals in einem diskreten Bewertungsring nennt man auch eine \stichwort {Ortsuniformisierende} {.} Wir wollen zeigen, dass zu einem Zahlbereich $R$ die Lokalisierung an einem jeden maximalen Ideal ein diskreter Bewertungsring ist.
\inputfaktbeweis
{Diskreter Bewertungsring/Erste Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Ein
\definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{}
ist}
\faktfolgerung {ein
\definitionsverweis {lokaler}{}{,}
\definitionsverweis {noetherscher}{}{}
\definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{}
mit genau zwei
\definitionsverweis {Primidealen}{}{,}
nämlich $0$ und dem
\definitionsverweis {maximalen Ideal}{}{}
${\mathfrak m}$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Ein diskreter Bewertungsring ist kein Körper. In einem Hauptidealbereich, der kein Körper ist, wird jedes maximale Ideal von einen Primelement erzeugt, und die Primerzeuger zu verschiedenen maximalen Idealen können nicht assoziiert sein. Also gibt es genau ein maximales Ideal. Nach Satz 9.18 ist ein Hauptidealbereich insbesondere ein Dedekindbereich, sodass es als weiteres Primideal nur noch das Nullideal gibt.
\inputbeispiel{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mathl{K[X]}{} der
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{ K[X]_{ (X)}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Lokalisierung}{}{}
am
\definitionsverweis {maximalen Ideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ = }{ (X)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist $R$ ein
\definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{.}
Die beiden einzigen
\definitionsverweis {Primideale}{}{}
von $R$ sind
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(0)
}
{ \subset }{ (X)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
und ein
\definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{}
liegt vor, da ja
\mathl{K[X]}{} ein Hauptidealbereich ist. Da es nur ein maximales Ideal gibt, kann es bis auf
\definitionsverweis {Assoziiertheit}{}{}
auch nur ein Primelement geben, nämlich $X$.
}
\inputbeispiel{}
{
Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{ \Z_{ (p )}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Lokalisierung}{}{}
am
\definitionsverweis {maximalen Ideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ = }{ (p)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist $R$ ein
\definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{.}
Die beiden einzigen
\definitionsverweis {Primideale}{}{}
von $R$ sind
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(0)
}
{ \subset }{ (p)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
und ein
\definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{}
liegt vor, da ja
\mathl{\Z}{} ein Hauptidealbereich ist. Da es nur ein maximales Ideal gibt, kann es bis auf
\definitionsverweis {Assoziiertheit}{}{}
auch nur ein Primelement geben, nämlich $p$.
}
\inputdefinition
{}
{
Zu einem Element \mathind { f \in R } { f \neq 0 }{,} in einem
\definitionsverweis {diskreten Bewertungsring}{}{}
mit
\definitionsverweis {Primelement}{}{}
$p$ heißt die Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der Eigenschaft
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ = }{up^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei $u$ eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
bezeichnet, die \definitionswort {Ordnung}{} von $f$. Sie wird mit
\mathl{\operatorname{ord} \, (f)}{} bezeichnet.
}
Die Ordnung ist also nichts anderes als der Exponent zum \zusatzklammer {bis auf Assoziiertheit} {} {} einzigen Primelement in der Primfaktorzerlegung. Sie hat folgende Eigenschaften.
{Diskreter Bewertungsring/Ordnungsfunktion/Erste Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{}
mit
\definitionsverweis {maximalem Ideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ = }{ (p)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann hat die
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
\maabbeledisp {} {R \setminus \{0\} } { \N
} {f} {\operatorname{ord} \, (f)
} {,}
folgende Eigenschaften.
\aufzaehlungvier{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (fg)
}
{ = }{ \operatorname{ord} \, (f) + \operatorname{ord} \, (g)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (f+g)
}
{ \geq }{ \operatorname{min} \left( \operatorname{ord} \, (f) ,\, \operatorname{ord} \, (g) \right)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{ {\mathfrak m}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (f)
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{ R^{\times}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (f)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 10.18. }
Wir wollen eine wichtige Charakterisierung für diskrete Bewertungsringe beweisen, die insbesondere beinhaltet, dass ein normaler lokaler Integritätsbereich mit genau zwei Primidealen bereits ein diskreter Bewertungsring ist. Dazu benötigen wir einige Vorbereitungen.
\inputfaktbeweis
{Kommutative Ringtheorie/Noethersch lokal nulldimensional/Potenz ist null/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei $S$ ein
\definitionsverweis {noetherscher}{}{}
\definitionsverweis {lokaler}{}{}
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.}
Es sei vorausgesetzt, dass das
\definitionsverweis {maximale Ideal}{}{}
${\mathfrak m}$ das einzige
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
von $S$ ist.}
\faktfolgerung {Dann gibt es einen Exponenten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}^n
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir behaupten zunächst, dass jedes Element in $R$ eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
oder
\definitionsverweis {nilpotent}{}{}
ist. Es sei hierzu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
keine Einheit. Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{{\mathfrak m}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Angenommen, $f$ ist nicht nilpotent. Dann gibt es nach
Lemma 3.9
ein Primideal ${\mathfrak p}$ in $R$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \notin }{ {\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Damit ergibt sich der Widerspruch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p} }
{ \neq }{ {\mathfrak m}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es ist also jedes Element im maximalen Ideal nilpotent. Insbesondere gibt es für ein endliches Erzeugendensystem
\mathl{f_1 , \ldots , f_k}{} von ${\mathfrak m}$ eine natürliche Zahl $m$ mit \mathkon { f_i^m=0 } { für alle } { i=1 , \ldots , k }{ .} Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{km
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist ein beliebiges Element aus ${\mathfrak m}^n$ von der Gestalt
\mathdisp {{ \left( \sum_{i = 1}^k a_{i1} f_i \right) } { \left( \sum_{i = 1}^k a_{i2} f_i \right) } \cdots { \left( \sum_{i = 1}^k a_{in} f_i \right) }} { . }
Ausmultiplizieren ergibt eine Linearkombination mit Monomen \mathkon { f_1^{r_1} \cdots f_k^{r_k} } { und } { \sum_{i=1}^k r_i = n }{ ,} sodass ein $f_i$ mit einem Exponenten
\mathl{\geq n/k = m}{} vorkommt. Daher ist das Produkt $0$.
\inputfaktbeweis
{Diskrete Bewertungsringe/Charakterisierung/1/Fakt}
{Satz}
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {noetherscher}{}{}
\definitionsverweis {lokaler}{}{}
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
mit der Eigenschaft, dass es genau zwei
\definitionsverweis {Primideale}{}{}
\mathl{0 \subset {\mathfrak m}}{} gibt. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
\aufzaehlungfuenf{$R$ ist ein
\definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{.}
}{$R$ ist ein
\definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{.}
}{$R$ ist
\definitionsverweis {faktoriell}{}{.}
}{$R$ ist
\definitionsverweis {normal}{}{.}
}{$\mathfrak m$ ist ein
\definitionsverweis {Hauptideal}{}{.}
}
}
{
$(1) \Rightarrow (2)$ folgt direkt aus der Definition 10.10.
$(2) \Rightarrow (3)$ folgt aus Satz 2.19.
$(3) \Rightarrow (4)$ folgt aus Satz 6.12.
$(4) \Rightarrow (5)$. Es sei
\mathbed {f \in {\mathfrak m}} {}
{f \neq 0} {}
{} {} {} {.} Dann ist
\mathl{R/(f)}{} ein noetherscher lokaler Ring mit nur einem Primideal
\zusatzklammer {nämlich
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ \tilde{ {\mathfrak m} }
}
{ = }{ {\mathfrak m} R/(f)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}
Daher gibt es nach
Lemma 10.16
ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tilde{ {\mathfrak m} }^n
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zurückübersetzt nach $R$ heißt das, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}^n
}
{ \subseteq }{ (f)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt. Wir wählen $n$ minimal mit den Eigenschaften
\mathdisp {{\mathfrak m}^n \subseteq (f) \text{ und } {\mathfrak m}^{n-1} \not\subseteq (f)} { . }
Wähle \mathkon { g \in {\mathfrak m}^{n-1} } { mit } { g \not\in (f) }{ } und betrachte
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h
}
{ \defeq} {\frac{f}{g}
}
{ \in} { Q(R)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}
Das Inverse, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h^{-1}
}
{ = }{\frac{g}{f}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
gehört nicht zu $R$, sonst wäre
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g
}
{ \in }{(f)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Da $R$ nach Voraussetzung normal ist, ist $h^{-1}$ auch nicht
\definitionsverweis {ganz}{}{}
über $R$. Nach dem Modulkriterium
Lemma 6.7
für die Ganzheit gilt insbesondere für das maximale Ideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{{\mathfrak m}
}
{ \subset }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ h^{-1} {\mathfrak m}
}
{ \not\subseteq} { {\mathfrak m}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist. Nach Wahl von $g$ ist aber auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ h^{-1} {\mathfrak m}
}
{ =} { \frac{g}{f} {\mathfrak m}
}
{ \subseteq} { \frac{ {\mathfrak m}^n }{f}
}
{ \subseteq} { R
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist
\mathl{h^{-1} {\mathfrak m}}{} ein Ideal in $R$, das nicht im maximalen Ideal enthalten ist. Also ist
\mathl{h^{-1} {\mathfrak m} = R}{.} Das heißt einerseits
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{h
}
{ \in }{ {\mathfrak m}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und andererseits gilt für ein beliebiges
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{ {\mathfrak m}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h^{-1}x
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{h (h^{-1}x)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{(h)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und somit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (h)
}
{ = }{ {\mathfrak m}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
$(5) \Rightarrow (1)$. Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ = }{ (\pi)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist $\pi$ ein Primelement und zwar bis auf Assoziiertheit das einzige. Es sei
\mathbed {f\in R} {}
{f \neq 0} {}
{} {} {} {} keine Einheit. Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{ {\mathfrak m}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und daher
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ = }{ \pi g_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist $g_1$ eine Einheit oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g_1
}
{ \in }{ {\mathfrak m}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Im zweiten Fall ist wieder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g_1
}
{ = }{ \pi g_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ = }{ \pi^2 g_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir behaupten, dass man
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ = }{ \pi^k u
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und einer Einheit $u$ schreiben kann. Andernfalls könnte man
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ = }{ \pi^n g_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit beliebig großem $n$ schreiben. Nach
Lemma 10.16
gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (\pi^m)
}
{ = }{ {\mathfrak m}^m
}
{ \subseteq }{(f)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{m+1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ergibt sich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\pi^m
}
{ = }{ af
}
{ = }{ a \pi^{m+1}b
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und der Widerspruch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1
}
{ = }{ ab \pi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es lässt sich also jede Nichteinheit $\neq 0$ als Produkt einer Potenz des Primelements mit einer Einheit schreiben. Insbesondere ist $R$ faktoriell. Für ein beliebiges Ideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ = }{ (f_1 , \ldots , f_s)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f_i
}
{ = }{ \pi^{n_i} u_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit Einheiten $u_i$. Dann sieht man leicht, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ = }{ (\pi^n)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{ \min_{i}\{n_i\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Dedekindbereich/Lokalisierung an maximalem Ideal/Diskreter Bewertungsring/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Dedekindbereich}{}{}
und sei ${\mathfrak m}$ ein
\definitionsverweis {maximales Ideal}{}{}
in $R$.}
\faktfolgerung {Dann ist die
\definitionsverweis {Lokalisierung}{}{}
\mathdisp {R_{\mathfrak m}} { }
ein
\definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Lokalisierung $R_{\mathfrak m}$ ist lokal nach Satz 4.15, sodass es lediglich die beiden \definitionsverweis {Primideale}{}{} \mathkor {} {0} {und} {{\mathfrak m} R_{ {\mathfrak m} }} {} gibt. Ferner ist $R$ noethersch. Da $R$ \definitionsverweis {normal}{}{} ist, ist nach Lemma 6.15 auch die Lokalisierung $R_{ {\mathfrak m} }$ normal. Wegen Satz 10.17 ist $R_{ {\mathfrak m} }$ ein diskreter Bewertungsring.
\inputbemerkung
{}
{
Korollar 10.18 besagt in Verbindung mit Satz 10.17, dass wenn man bei einem Dedekindbereich und spezieller einem Zahlbereich $R$ zur Lokalisierung $R_{\mathfrak m}$ an einem maximalen Ideal ${\mathfrak m}$ übergeht, dass dort die eindeutige Primfaktorzerlegung gilt.
}
\inputfaktbeweis
{Dedekindbereich/Durchschnitt von diskreten Bewertungsringen/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Dedekindbereich}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $R$ der Durchschnitt von
\definitionsverweis {diskreten Bewertungsringen}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Nach
Satz 4.16
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ =} { \bigcap_{\mathfrak m} R_{\mathfrak m}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei ${\mathfrak m}$ durch alle maximalen Ideale von $R$ läuft. Nach
Korollar 10.18
sind die beteiligten Lokalisierungen $R_{\mathfrak m}$ allesamt diskrete Bewertungsringe.