Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Vorlesung 9/latex
\setcounter{section}{9}
\zwischenueberschrift{Quadratische Zahlbereiche}
Wir beschreiben nun die bisher entwickelten Konzepte im Fall von quadratischen Zahlbereichen genauer. In diesen lassen sich sehr häufig viele Sachen mit einem vertretbaren Aufwand ausrechnen, zugleich zeigen sich aber auch schon viele typische Phänomene der allgemeinen Theorie.
\inputdefinition
{}
{
Ein \definitionswort {quadratischer Zahlbereich}{} ist der \definitionsverweis {Ring der ganzen Zahlen}{}{} in einem \definitionsverweis {Erweiterungskörper}{}{} von $\Q$ vom \definitionsverweis {Grad}{}{} $2$.
}
\inputnotation{}{
Zu einer
\definitionsverweis {quadratfreien}{}{}
Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ \neq }{0,1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bezeichnet man den zugehörigen
\definitionsverweis {quadratischen Zahlbereich}{}{,}
also den
\definitionsverweis {Ring der ganzen Zahlen}{}{}
in
\mathl{\Q[\sqrt{D}]}{,} mit
\mathdisp {A_D} { . }
}
Eine quadratische Körpererweiterung der rationalen Zahlen wird durch ein normiertes irreduzibles Polynom beschrieben, das man durch quadratisches Ergänzen auf die Form
\mathl{X^2-q}{} bringen kann. Durch Multiplikation mit einem Quadrat
\zusatzklammer {siehe
Aufgabe 9.1} {} {}
kann man $q$ durch eine quadratfreie ganze Zahl ersetzen. Die quadratische Körpererweiterung kann man also als
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{ \Q[ \sqrt{D}]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einer quadratfreien Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ \neq }{0,1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ansetzen. Ein großer Unterschied besteht je nachdem, ob $D$ positiv oder negativ ist. Im positiven Fall ist $\sqrt{D}$ eine reelle irrationale Zahl, im negativen Fall handelt es sich um eine imaginäre Zahl. Man definiert:
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ \neq }{0,1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {quadratfrei}{}{}
und sei $A_D$ der zugehörige
\definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{.}
Dann heißt $A_D$ \definitionswort {reell-quadratisch}{,} wenn $D$ positiv ist, und \definitionswort {imaginär-quadratisch}{,} wenn $D$ negativ ist.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ \neq }{0,1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {quadratfreie}{}{}
Zahl und sei
\mathl{\Q[\sqrt{D}]}{} die zugehörige quadratische
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
und $A_D$ der zugehörige
\definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{.}
Dann wird der Automorphismus
\zusatzklammer {auf
\mathl{\Q[\sqrt{D}]}{,} auf
\mathl{\Z[\sqrt{D}]}{} und auf $A_D$} {} {}
\mathdisp {a+b \sqrt{D} \longmapsto a -b \sqrt{D}} { }
als \definitionswort {Konjugation}{} bezeichnet.
}
Wir bezeichnen die Konjugation von $z$ mit $\bar{z}$.
\inputbemerkung
{}
{
Im
\definitionsverweis {imaginär-quadratischen}{}{}
Fall, wenn also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ < }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, so ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sqrt{D}
}
{ = }{ { \mathrm i} \sqrt{-D}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mathl{\sqrt{-D}}{} reell. Die
\definitionsverweis {Konjugation}{}{}
schickt dies dann auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ - \sqrt{D}
}
{ = }{- { \mathrm i} \sqrt{-D}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
so dass diese Konjugation mit der
\definitionsverweis {komplexen Konjugation}{}{}
übereinstimmt. Im reell-quadratischen Fall allerdings hat die Konjugation
\mathl{\sqrt{D} \mapsto -\sqrt{D}}{} nichts mit der komplexen Konjugation zu tun.
}
\inputbemerkung
{}
{
Bei einer
\definitionsverweis {endlichen Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
werden
\definitionsverweis {Norm}{}{}
und
\definitionsverweis {Spur}{}{}
eines Elementes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
über die Determinante und die Spur der Multiplikationsabbildung
\maabb {f} {L} {L
} {}
definiert. Im Fall einer quadratischen Erweiterung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subset} { \Q[\sqrt{D}]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
sind diese beiden Invarianten einfach zu berechnen: Da $1$ und $\sqrt{D}$ eine $\Q$-Basis bilden, ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ = }{a+b\sqrt{D}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und damit ist die Multiplikationsmatrix durch
\mathdisp {\begin{pmatrix} a & bD \\ b & a \end{pmatrix}} { }
gegeben. Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ N(z)
}
{ =} { a^2-b^2 D
}
{ =} { (a+b \sqrt{D})(a -b \sqrt{D})
}
{ =} { z \overline{z}
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S(z)
}
{ =} { 2a
}
{ =} { (a+b \sqrt{D}) + (a -b \sqrt{D})
}
{ =} { z + \overline{z}
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputfaktbeweis
{Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Ganz, wenn Spur und Norm ganz ist/Fakt}
{Lemma}
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subset }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {quadratische Körpererweiterung}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist $f$ genau dann
\definitionsverweis {ganz}{}{}
über $\Z$, wenn sowohl die Norm als auch die Spur von $f$ zu $\Z$ gehören.
}
{
Dies folgt aus
Satz 7.5,
aus
Satz 8.10 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)),
und aus der Gestalt des Minimalpolynoms
\zusatzklammer {nämlich gleich
\mathl{f^2 -S(f)f +N(f)}{,} falls
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{f
}
{ \notin }{\Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
im quadratischen Fall.
Wir kommen zur expliziten Beschreibung eines quadratischen Zahlbereiches.
\inputfaktbeweis
{Quadratischer Zahlbereich/Beschreibung/Fakt}
{Satz}
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ \neq }{ 0,1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {quadratfreie Zahl}{}{}
und $A_D$ der zugehörige
\definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{.}
Dann gilt
\mathdisp {A_D = {\Z}[\sqrt{D}], \text{ wenn } D= 2,3 \mod 4} { }
und
\mathdisp {A_D= {\Z}[ { \frac{ 1+\sqrt{D} }{ 2 } } ], \text{ wenn } D= 1 \mod 4} { . }
}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{A_D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{a+b \sqrt{D}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b
}
{ \in }{ \Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Aus
Lemma 9.7
folgt
\mathdisp {N(x)= a^2- D b^2 \in {\Z} \text{ und } S(x)=2a \in {\Z}} { . }
Aus der zweiten Gleichung folgt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{ { \frac{ n }{ 2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{\Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ = }{ { \frac{ r }{ s } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit $r,s$ teilerfremd,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \geq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die erste Gleichung wird dann zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \left( { \frac{ n }{ 2 } } \right) }^2 - D { \left( { \frac{ r }{ s } } \right) }^2
}
{ = }{ k
}
{ \in }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bzw.
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n^2 - 4 D { \left( { \frac{ r }{ s } } \right) }^2
}
{ = }{ 4k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dies bedeutet, da $r$ und $s$ teilerfremd sind, dass $4D$ von $s^2$ geteilt wird. Da ferner $D$ quadratfrei ist, folgt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ = }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Im ersten Fall ist $n$ ein Vielfaches von $2$
\zusatzklammer {da $n^2$ ein Vielfaches von $4$ ist} {} {,}
so dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{\Z[\sqrt{D}]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
Es sei also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ = }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
was zur Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ n^2 - D r^2
}
{ =} { 4k
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
führt. Wir betrachten diese Gleichung modulo $4$. Bei $n$ und $r$ gerade ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{\Z[\sqrt{D}]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die einzigen Quadrate in
\mathl{\Z/(4)}{} sind $0$ und $1$, so dass für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ = }{2,3 \mod 4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
keine weitere Lösung existiert. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ = }{1\mod 4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
hingegen gibt es auch noch die Lösung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{1\mod 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ = }{1 \mod 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also $n$ und $r$ beide ungerade. Diese Lösungen gehören alle zu
\mathl{{\Z}[\frac{1+\sqrt{D} }{2}]}{.}
Die umgekehrte Inklusion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Z[\sqrt{D}]
}
{ \subseteq }{ A_D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist klar, sei also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ = }{1 \mod 4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist aber
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \frac{1 + \sqrt{D} }{2} \right) }^2 - \frac{1 + \sqrt{D} }{2}
}
{ =} { \frac{1+ D +2 \sqrt{D}-2-2 \sqrt{D} }{4}
}
{ =} { \frac{D-1}{4}
}
{ \in} { \Z
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
und dabei ist
\mathl{\frac{D-1}{4}}{} eine ganze Zahl, so dass dies sofort eine Ganzheitsgleichung über $\Z$ ergibt.
In den im vorstehenden Satz beschriebenen Fällen kann man jeweils den Ring der ganzen Zahlen durch eine Variable und eine Gleichung beschreiben. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ = }{2,3 \mod 4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A_D
}
{ \cong} { \Z[ \sqrt{D} ]
}
{ \cong} { \Z[X]/(X^2-D)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ = }{1 \mod 4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
setzt man häufig
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ = }{ \frac{1+\sqrt{D} }{2}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für den Algebra-Erzeuger. Dieser Erzeuger erfüllt die Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega ^2 - \omega - \frac{D-1}{4}
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir haben also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A_D
}
{ \cong} { {\Z}[\omega]/ { \left( \omega^2- \omega - \frac{D-1}{4} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir werden häufiger in beiden Fällen diese Ganzheitsbasis
\mathl{1, \omega}{} nennen, mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ = }{ \sqrt{D}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
im ersten Fall und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ =} { { \frac{ 1 + \sqrt{D} }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im zweiten Fall.
\inputfaktbeweis
{Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Diskriminante/Fakt}
{Lemma}
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ \neq }{0,1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {quadratfreie Zahl}{}{}
und $A_D$ der zugehörige
\definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{.}
Dann ist die
\definitionsverweis {Diskriminante}{}{}
von $A_D$ gleich
\mathdisp {\triangle = 4D , \text{ wenn } D= 2,3 \mod 4} { }
und
\mathdisp {\triangle =D, \text{ wenn } D= 1 \mod 4} { . }
}
{
Im Fall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ = }{2,3 \mod 4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist nach
Satz 9.8
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A_D
}
{ = }{ \Z[X]/(X^2-D)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und daher bilden $1$ und $X$ eine Ganzheitsbasis. Die möglichen Produkte zu dieser Basis sind in Matrixschreibweise
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & X \\ X & D \end{pmatrix}} { . }
Wendet man darauf komponentenweise die
\definitionsverweis {Spur}{}{}
an so erhält man
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2D \end{pmatrix}} { }
und die Determinante davon ist $4D$.
Im Fall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ = }{1 \mod 4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist hingegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A_D
}
{ =} { \Z[\omega]/ { \left( \omega^2-\omega - \frac{D-1}{4} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und eine Ganzheitsbasis ist $1$ und $\omega$. Die Matrix der Basisprodukte ist dann
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & \omega \\ \omega & \omega + { \frac{ D-1 }{ 4 } } \end{pmatrix}} { . }
Wendet man darauf die Spur an
\zusatzklammer {die Spur von $\omega$ ist $1$} {} {,}
so erhält man
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 + { \frac{ D-1 }{ 2 } } \end{pmatrix}} { }
und die Determinante davon ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2 { \left( 1+ \frac{D-1}{2} \right) } -1
}
{ =} { 2 +D-1-1
}
{ =} { D
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\zwischenueberschrift{Die Summe von Quadraten}
Wir haben nun die Mittel an der Hand, um die Zahlen, die die Summe von zwei Quadratzahlen sind, mit Hilfe des Ringes der Gaußschen Zahlen zu charakterisieren.
{Gaußsche Zahlen/Primelement/Charakterisierungen/Fakt}
{Satz}
{}
{
Es sei $p$ ein ungerade
\definitionsverweis {Primzahl}{}{.}
Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
\aufzaehlungfuenf{$p$ ist die Summe von zwei Quadraten,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ = }{x^2+y^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x,y
}
{ \in }{\Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{$p$ ist die
\definitionsverweis {Norm}{}{}
eines Elementes aus
\mathl{\Z [ { \mathrm i} ]}{.}
}{$p$ ist zerlegbar
\zusatzklammer {nicht prim} {} {}
in
\mathl{\Z [ { \mathrm i} ]}{.}
}{$-1$ ist ein Quadrat in
\mathl{\Z/(p)}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ = }{1 \mod 4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{ Siehe Aufgabe 9.26. }
{Zahlentheorie/Summe von Quadraten/Charakterisierung/Fakt}
{Satz}
{}
{
Es sei $n$ eine positive natürliche Zahl. Wir schreiben
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{r^2 m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei jeder Primfaktor von $m$ nur einfach vorkomme. Dann ist $n$ die Summe von zwei Quadraten genau dann, wenn in der Primfaktorzerlegung von $m$ nur $2$ und Primzahlen vorkommen, die modulo $4$ den Rest $1$ haben.
{ Siehe Aufgabe 9.27. }
\zwischenueberschrift{Noethersche Ringe und Dedekindbereiche}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Noether.jpg} }
\end{center}
\bildtext {Emmy Noether (1882-1935)} }
\bildlizenz { Noether.jpg } {} {Anarkman} {PD} {} {http://www.nhn.ou.edu/~jeffery/course/c_energy/energyl/lec001.html}
\inputdefinition
{}
{
Ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} $R$ heißt \definitionswort {noethersch}{,} wenn jedes \definitionsverweis {Ideal}{}{} darin \definitionsverweis {endlich erzeugt}{}{} ist.
}
\inputfaktbeweis
{Zahlbereiche/Sind noethersch/Fakt}
{Korollar}
{}
{
Jeder \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{} ist ein \definitionsverweis {noetherscher Ring}{}{.}
}
{
Nach Korollar 8.5 ist jedes von $0$ verschiedene Ideal als additive Gruppe isomorph zu $\Z^n$, also ist insbesondere jedes Ideal als abelsche Gruppe endlich erzeugt. Insbesondere sind die Ideale dann als Ideale \zusatzklammer {also als $R$-Moduln} {} {} endlich erzeugt.
\inputfaktbeweis
{Zahlbereich/Ideal/Restklassenring/Endlich/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Zu einem
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in einem
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
$R$}
\faktfolgerung {ist der
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathl{R/{\mathfrak a}}{} endlich.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Nach
Lemma 7.6
gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ \in }{ \Z \cap {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Damit ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{mR
}
{ \subseteq }{ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und damit hat man eine surjektive Abbildung
\maabbdisp {} { R/(m) } { R/ {\mathfrak a}
} {.}
Der Ring links ist nach
Korollar 8.8
endlich
\zusatzklammer {mit $m^n$ Elementen} {} {,}
also besitzt der Ring rechts auch nur endlich viele Elemente.
Wir geben noch einen zweiten Beweis der vorstehenden Aussage.
Als kommutative Gruppe ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{\Z^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist das von $a$
\definitionsverweis {erzeugte}{}{}
\definitionsverweis {Hauptideal}{}{}
eine Untergruppe
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a R
}
{ \cong} { \Z^n
}
{ \subseteq} {R
}
{ \cong} {\Z^n
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Deshalb ist die Restklassengruppe
\mathl{\Z^n/ aR}{} endlich und wegen der natürlichen Surjektion
\maabb {} { \Z^n/ aR} { R/{\mathfrak a}
} {}
ist auch der Restklassenring endlich.
\inputfaktbeweis
{Zahlbereiche/Primideale ungleich null sind maximal/Fakt}
{Satz}
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{.} Dann ist jedes von $0$ verschiedene \definitionsverweis {Primideal}{}{} von $R$ bereits ein \definitionsverweis {maximales Ideal}{}{.}
}
{
Es sei ${\mathfrak p}$ ein Primideal $\neq 0$ in $R$. Dann ist der Restklassenring $R/ {\mathfrak p}$ nach Lemma 3.3 ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} und nach Satz 9.14 endlich. Ein endlicher Integritätsbereich ist aber nach Aufgabe 5.36 bereits ein Körper, so dass nach Lemma 3.5 ein maximales Ideal vorliegt.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Dedekind.jpeg} }
\end{center}
\bildtext {Richard Dedekind (1831-1916)} }
\bildlizenz { Dedekind.jpeg } {Jean-Luc W} {} {Commons} {PD} {http://dbeveridge.web.wesleyan.edu/wescourses/2001f/chem160}
Die bisher etablierten Eigenschaften von Zahlbereichen lassen sich im folgenden Begriff zusammenfassen.
\inputdefinition
{}
{
Einen \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} $R$ nennt man einen \definitionswort {Dedekindbereich}{,} wenn er \definitionsverweis {noethersch}{}{} und \definitionsverweis {normal}{}{} ist und wenn jedes von $0$ verschiedene \definitionsverweis {Primideal}{}{} darin \definitionsverweis {maximal}{}{} ist.
}
Die Eigenschaft, dass jedes von $0$ verschiedene Primideal maximal ist, bedeutet, dass die maximalen Ketten von Primidealen die Form
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \subset }{ {\mathfrak m}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besitzen
\zusatzklammer {wenn ein Körper vorliegt, so gibt es nur das einzige Primideal $0$} {} {.}
Man sagt auch, dass die \stichwort {Krulldimension} {} des Ringes gleich $1$ ist.
\inputfaktbeweis
{Zahlbereich/Dedekindbereich/Fakt}
{Korollar}
{}
{
Jeder \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{} ist ein \definitionsverweis {Dedekindbereich}{}{.}
}
{
Dies folgt aus Satz 7.2, aus Korollar 9.13 und aus Satz 9.15.
\inputfaktbeweis
{Kommutative Ringtheorie/Hauptidealbereiche sind Dedekindbereiche/Fakt}
{Satz}
{}
{
\definitionsverweis {Hauptidealbereiche}{}{} sind \definitionsverweis {Dedekindbereiche}{}{.}
}
{
Die \definitionsverweis {Normalität}{}{} folgt aus [[Hauptidealbereich/Ist faktoriell (ohne Begriff)/Fakt|Satz 2.19 ]] und Satz 6.12. Die Eigenschaft \definitionsverweis {noethersch}{}{} folgt, da in einem Hauptidealbereich jedes \definitionsverweis {Ideal}{}{} sogar von einem Element erzeugt wird. Die Maximalität der von $0$ verschiedenen \definitionsverweis {Primideale}{}{} folgt aus Lemma 3.7.