Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/b/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	${}\sum$
Punkte	3	3	10	6	3	3	2	5	4	7	9	5	4	64

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein maximales Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ in einem kommutativen Ring ${}R$.
2. Der Restekörper zu einem lokalen Ring ${}R$.
3. Ein ganzes Element ${}x\in S$ bei einer Ringerweiterung ${}R\subseteq S$.
4. Die Diskriminante eines Zahlbereichs ${}R$.
5. Der Divisor zu einem Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ in einem Dedekindbereich.
6. Die Verzweigungsordnung zu einer Erweiterung ${}A\subseteq B$ von diskreten Bewertungsringen.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über das Transformationsverhalten der Diskriminante zu einer Basis in einer endlichen Körpererweiterung ${}K\subseteq L$.
2. Der Satz über Ideale und Divisoren in einem Dedekindbereich.
3. Der Minkowskische Gitterpunktsatz.

Aufgabe (10 Punkte)

Formulieren und beweisen Sie Ihren Lieblingssatz der Vorlesung.

Aufgabe (6 Punkte)

Beschreibe Parallelen zwischen Zahlen und Funktionen, wie sie in der algebraischen Zahlentheorie entwickelt werden.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Zu jedem ${}f\in R$ sei

$\mu _{f}\colon R\longrightarrow R,\,g\longmapsto fg,$

die Multiplikation mit ${}f$. Zeige, dass ${}\mu _{f}$ genau dann bijektiv ist, wenn es surjektiv ist.

Man zeige durch ein Beispiel, dass in dieser Situation aus der Injektivität nicht die Bijektivität folgt.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ das Spektrum eines Zahlbereiches. Zeige, dass jede offene Menge von ${}X$ von der Form ${}D(f)$ mit einem ${}f\in R$ ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Norm des Ideals ${}(X^{2}+1)$ im Zahlbereich ${}\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{4}+1\right)}$.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich und es seien ${}{\mathfrak {f}}$ und ${}{\mathfrak {g}}$ gebrochene Ideale. Zeige, dass die beiden gebrochenen Ideale genau dann die gleiche Klasse in der Divisorenklassengruppe definieren, wenn sie als ${}R$- Moduln isomorph sind.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}R=\mathbb {R} [X,Y]/{\left(X^{2}+Y^{2}-1\right)}$. Zeige, dass alle Primideale von ${}R$ der Form ${}(X-a,Y-b)$ mit ${}a,b\in \mathbb {R}$ die gleiche Divisorklasse festlegen.

Aufgabe * (7 (2+3+2) Punkte)

Es sei

${}S=\mathbb {Z} [Y]/{\left(Y^{4}-Y^{3}-4Y^{2}+4Y+1\right)}\subseteq R_{15}=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{8}-X^{7}+X^{5}-X^{4}+X^{3}-X+1\right)}\,,$

wobei ${}Y=X+X^{-1}$ ist.

1. Zeige, dass das Element

   ${}Z={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\,$

   zu ${}S$ gehört.

2. Schreibe ${}Z$ als polynomialen Ausdruck in ${}Y$.
3. Beschreibe ${}S$ als quadratische Erweiterung von ${}\mathbb {Z} [Z]$.

Aufgabe * (9 (1+1+2+3+2) Punkte)

1. Zeige, dass das Polynom ${}X^{3}+X+1$ in ${}\mathbb {Z} [X]$ irreduzibel ist.
2. Bestimme die Primfaktorzerlegung von ${}X^{3}+X+1$ in ${}\mathbb {Z} /(3)[X]$.
3. Bestimme die Primfaktorzerlegung von ${}X^{3}+X+1$ in ${}\mathbb {Z} /(31)[X]$.
4. Man finde eine positive Zahl ${}n$ derart, dass für alle Primzahlen ${}p$, die ${}n$ nicht teilen, der Faserring ${}\mathbb {Z} /(p)[X]/{\left(X^{3}+X+1\right)}$ reduziert ist.
5. Bestimme, ob ${}\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{3}+X+1\right)}$ ein Zahlbereich ist.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper ${}K=Q(R)$ und sei ${}K\subseteq M$ eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe ${}G$. Es sei ${}T$ der ganze Abschluss von ${}R$ in ${}M$. Es sei ${}N\subseteq G$ ein Normalteiler von ${}G$ mit Restklassengruppe ${}H=G/N$ und es sei ${}S=T^{N}$ und ${}L=M^{N}$ der zugehörige Zwischenring bzw. Zwischenkörper, auf dem ${}H$ galoissch operiert mit Fixring ${}R$ bzw. Fixkörper ${}K$. Es sei ${}{\mathfrak {r}}$ ein Primideal von ${}T$ über ${}{\mathfrak {q}}$ in ${}S$. Zeige, dass zwischen den Zerlegungsgruppen ein natürlicher surjektiver Gruppenhomomorphismus

$G_{\mathfrak {r}}\longrightarrow H_{\mathfrak {q}}$

besteht, dessen Kern gleich ${}N\cap G_{\mathfrak {r}}$ ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und es seien ${}u,v\in R^{\times }$ Einheiten und ${}a,b$ von ${}0$ verschiedene ganze Zahlen mit ${}u^{a}=v^{b}$. Zeige, dass es ganze Zahlen ${}c,d$ und Einheitswurzeln ${}\zeta ,\xi \in \mu _{}{\left(R\right)}$ und eine Einheit ${}w$ derart gibt, dass ${}u=\zeta w^{c}$ und ${}v=\xi w^{d}$ gilt.