Kurs:Analysis/Teil I/13/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	${}\sum$
Punkte	3	3	1	1	3	4	4	5	4	8	3	2	3	3	3	2	5	4	3	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Das Bild einer Abbildung

   $F\colon L\longrightarrow M.$

2. Eine Intervallschachtelung in einem angeordneten Körper ${}K$.
3. Die Stetigkeit in einem Punkt ${}a\in {\mathbb {K} }$ einer Abbildung ${}f:{\mathbb {K} }\rightarrow {\mathbb {K} }$.
4. Eine Treppenfunktion

   $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   auf einem beschränkten reellen Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$.

5. Die Integralfunktion zum Startpunkt ${}a\in I$ zu einer Riemann-integrierbaren Funktion

   $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   auf einem reellen Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$.

6. Eine gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz von Bolzano-Weierstraß.
2. Das Majorantenkriterium für eine Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ von komplexen Zahlen.
3. Der Satz über die lineare Approximierbarkeit einer Funktion

   $f\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} }$

   in einem Punkt ${}a\in {\mathbb {K} }$.

Aufgabe * (1 Punkt)

Wir betrachten den Satz „Diese Vorlesung versteht keine Sau“. Negiere diesen Satz durch eine Existenzaussage.

Aufgabe * (1 Punkt)

Ist die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {N} _{+}\times \mathbb {N} _{+}\longrightarrow \mathbb {N} _{+}\times \mathbb {N} _{+}\times \mathbb {N} _{+},\,(a,b)\longmapsto (a+b,ab,a^{b}),$

injektiv oder nicht?

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Zeige, dass für ${}x\geq 3$ die Beziehung

${}x^{2}+(x+1)^{2}\geq (x+2)^{2}\,$

gilt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}M$ eine ${}n$-elementige Menge. Zeige, dass die Anzahl der ${}k$-elementigen Teilmengen von ${}M$ gleich dem Binomialkoeffizienten

${\binom {n}{k}}$

ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge in ${}K$, die eine konvergente Teilfolge enthalte. Zeige, dass die Folge konvergiert.

Aufgabe * (5 Punkte)

Untersuche die Folge

${}x_{n}={\sqrt {n}}\cdot {\sqrt {n+1}}-n\,$

auf Konvergenz.

Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere und beweise die Lösungsformel für eine quadratische Gleichung

${}ax^{2}+bx+c=0\,$

mit ${}a,b,c\in \mathbb {R}$, ${}a\neq 0$.

Aufgabe * (8 (5+3) Punkte)

Wir betrachten die alternierende Reihe der Stammbrüche ${}\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}$ mit

${}x_{n}=(-1)^{n+1}{\frac {1}{n}}\,,$

also

$1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{9}}\cdots ,$

die bekanntlich konvergiert.

a) Zeige, dass die umgeordnete Reihe

$1+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{11}}-{\frac {1}{6}}\cdots ,$

konvergiert.

b) Man gebe eine Umordnung der Reihe an, die divergiert.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion, die abzählbar viele Werte annimmt. Zeige, dass ${}f$ konstant ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel einer stetigen, nicht differenzierbaren Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

mit der Eigenschaft, dass die Funktion ${}x\mapsto f{\left(\vert {x}\vert \right)}$ differenzierbar ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine differenzierbare Funktion. Zeige durch Induktion, dass für die ${}n$-fache Hintereinanderschaltung ($n\geq 1$)

$f^{\circ n}=f\circ f\circ \cdots \circ f\,\,\,(n{\text{ mal}})$

die Beziehung

${}{\left(f^{\circ n}\right)}'=f'\cdot \prod _{i=1}^{n-1}{\left(f'\circ f^{\circ i}\right)}\,$

gilt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

$f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,x\longmapsto f(x)=xe^{x}.$

Zeige durch Induktion, dass die ${}n$-te Ableitung ($n\geq 1$) von ${}f$ gleich

${}f^{(n)}(x)={\left(x+n\right)}e^{x}\,$

ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=x^{2}+1.$

Bestimme die Tangenten an ${}f$, die lineare Funktionen sind (die also durch den Nullpunkt verlaufen).

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Ableitung der Kosinusfunktion über ihre Potenzreihe (Satz 20.9 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))).

Aufgabe * (5 Punkte)

Ein Dreieck soll die Grundseite ${}[0,s]$ und die Höhe ${}h$ besitzen ($s,h>0$). Für welchen Höhenfußpunkt ${}x$ besitzt das Dreieck einen minimalen Umfang, und wie lange ist dieser?

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise die Substitutionsregel zur Integration von stetigen Funktionen.

Aufgabe * (3 Punkte)

Finde eine Lösung für die gewöhnliche Differentialgleichung

${}y'=y^{\frac {2}{5}}\,$

für ${}t,y>0$.