Kurs:Analysis/Teil I/29/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	2	3	5	4	5	4	6	5	2	7	2	5	1	3	4	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Ordnungsrelation ${}\preccurlyeq$ auf einer Menge ${}I$.
2. Ein vollständig angeordneter Körper ${}K$.
3. Eine Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ von komplexen Zahlen ${}a_{k}$.
4. Die Abzählbarkeit einer Menge ${}M$.
5. Der natürliche Logarithmus

   $\ln \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} .$

6. Die Integralfunktion zum Startpunkt ${}a\in I$ zu einer Riemann-integrierbaren Funktion

   $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   auf einem reellen Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Das Leibnizkriterium für alternierende Reihen.
2. Der Satz über die stetige Fortsetzbarkeit einer Funktion

   $T\longrightarrow {\mathbb {K} },$

   wobei ${}T\subseteq {\mathbb {K} }$ eine Teilmenge ist.
3. Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung.

Aufgabe * (2 Punkte)

Erläutere das Prinzip Beweis durch Widerspruch.

Aufgabe * (3 (1.5+1.5) Punkte)

Ein Zug fährt ${}100$ Kilometer den Rhein abwärts mit einer Geschwindigkeit von ${}100$ kmh. Auf dem Rhein fahren Schiffe in beide Richtungen, alle mit einer Geschwindigkeit von ${}20$ kmh, wobei sie zu den gleichgerichteten Schiffen einen konstanten Abstand von ${}2$ km einhalten. Zu Beginn der Fahrt ist der Zug gleichauf mit zwei Schiffen (in beide Richtungen).

1. Wie vielen entgegenkommenden Schiffen begegnet der Zug?
2. Wie viele Schiffe überholt der Zug?

Aufgabe * (5 Punkte)

Es seien zwei rationale Zahlen ${}x<y$ gegeben. Zeige, dass für jede positive natürliche Zahl ${}n$ die rationale Zahl

${}z_{n}:={\frac {x+ny}{1+n}}\,$

echt zwischen ${}x$ und ${}y$ liegt. In welcher Größenbeziehung stehen die Zahlen ${}z_{n}$ zueinander?

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Konvergenz der geometrischen Reihe.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}z\in \mathbb {R}$ eine reelle Zahl. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

1. Es gibt ein Polynom ${}P\in \mathbb {R} [X]$, ${}P\neq 0$, mit ganzzahligen Koeffizienten und mit ${}P(z)=0$.
2. Es gibt ein Polynom ${}Q\in \mathbb {Q} [X]$, ${}Q\neq 0$, mit ${}Q(z)=0$.
3. Es gibt ein normiertes Polynom ${}R\in \mathbb {Q} [X]$ mit ${}R(z)=0$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Führe in ${}{\mathbb {C} }[X]$ die Division mit Rest „${}P$ durch ${}T$“ für die beiden Polynome ${}P=X^{4}+{\mathrm {i} }X^{3}+X^{2}+(1-3{\mathrm {i} })X+3$ und ${}T=X^{2}+(1-{\mathrm {i} })X+2$ durch.

Aufgabe * (6 Punkte)

Bestimme, ob die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \sin \left(x^{2}\right),$

gleichmäßig stetig ist oder nicht.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}f(x):={\frac {x^{2}+4x-3}{x^{2}+7}}$. Bestimme ein Polynom ${}h$ vom Grad ${}\leq 3$, das in den beiden Punkten ${}x=0$ und ${}x=2$ die gleichen linearen Approximationen wie ${}f$ besitzt.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme den Grenzwert

$\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\frac {x}{e^{x}-1}}.$

Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise die Charakterisierung mit Ableitungen von konvexen Funktionen ${}f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Ableitung der Sinusfunktion über ihre Potenzreihe (Satz 20.9 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))).

Aufgabe * (5 Punkte)

Wir betrachten eine Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ der Form

${}f(x)=g(x)\sin x+h(x)\cos x\,,$

wobei ${}g$ und ${}h$ lineare Polynome seien. Zeige durch Induktion, dass für die Ableitungen ($n\geq 0$) die Beziehung

${}f^{(n)}(x)={\begin{cases}(-1)^{n/2}{\left({\left(g(x)+nh'(x)\right)}\sin x+{\left(-ng'(x)+h(x)\right)}\cos x\right)}{\text{ für }}\ n{\text{ gerade}},\\(-1)^{(n-1)/2}{\left({\left(ng'(x)-h(x)\right)}\sin x+{\left(g(x)+nh'(x)\right)}\cos x\right)}{\text{ für }}\ n{\text{ ungerade}},\end{cases}}\,$

gilt.

Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

${\frac {6x^{5}+25x^{4}-4x^{3}-18x^{2}+4x+8}{x^{6}+5x^{5}-x^{4}-6x^{3}+2x^{2}+8x+1}}.$

Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne das bestimmte Integral zur Funktion

$f\colon \mathbb {R} _{\geq 3/2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)={\sqrt[{3}]{x}}+{\frac {1}{4x-5}}+\cos x+e^{-x},$

über ${}[2,7]$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

$y'=y^{3}\sin t{\text{ mit }}y(0)={\frac {1}{2}}.$